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第七章 非线性系统分析 第七章 非线性系统分析 7.1 控制系统中的典型非线性特性 7.2 描述函数法 7.3 用描述函数法分析非线性系统 7.4 改善非线性系统性能的方法 三、特点：稳定性与结构、初始条件有关 四，分析方法 1、描述函数法：近似性，高阶系统也很方便，较多应用。 2、相平面法较精确，因高阶作图太复杂，较少应用。 （实际限于二阶非线性系统）， 注意： 非线性常微分方程没有相同的求解方法，求解三阶以上系统方程困难； 不能用叠加原理； 本质非线性，即不能用小偏差方法进行线性化。 研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解，而重要关心其时域响应的性质，如：稳定性、自持振荡。 比较： 线性系统特征方程 G(jω)=–1；线性系统，（–1，j0）点是判断稳定的关 键点。 非线性系统，判断稳定性不是点（–1，j0）,而是一条线 –1∕N(A） 。由 线性部分的频率特性与描述函数负倒特性之间相对位置可以判断非线性系统 的稳定及自激振荡，即可利用奈奎斯稳定判据进行分析。 2、判据内容： 在开环幅相特性平面上，画出线性特性 G(jω)曲线(最小相位)。 1）若G(jω)轨迹不包围非线性负倒特性–1∕N（A）,则此非线性系统稳定 2）若G(jω)轨迹包围–1∕N(A），则非线性系统不稳定。 3）若G(jω)与–1∕N（A）相交，则在交点处，系统处于临界稳定，可能产生周期持续震荡，这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的振幅和频率可以分别用交点处–1∕N（A）轨迹上的A 值，G(jω)曲线上对应的ω值来表征。 7.4 改善非线性系统性能的方法 一、改变线性部分的参数或对线性部分进行校正 1、减小线性部分的放大系数K值，使两特性曲线不产生相交点。 例题7.1（P172） 2、对线性部分进行串联校正，使两特性曲线不产生相交点。 例题(P174) 3．对线性部分进行并联校正，使两特性曲线不产生相交点。 例题(P169) 二、改变非线性特性 1、改变非线性元件的参数 例如，在例7.1中，当线性部分参数不变(k=15)时，改变非线性部分的参数a或b，可以使负倒描述函数曲线往左移，从而使两特性曲线不相交，即使原有自持振荡的系统变为稳定。 2、对非线性元件采用某种并联校正 例如，一个饱和非线性元件并入一合适的死区非线性元件后，变成了线性比例元件。 见图示说明： 此处添加公司信息 一、非线性系统组成： 非线性环节+线性环节 二、典型非线性特性(4种) 1、饱和 7.1 非线性控制系统中的典型非线性特性 2、死区 3、回环 4、继电器 7.2 描述函数法 一、描述性函数的定义 非线性元件的输入为正弦波时，将其输出的非正弦波的一次谐波（基波) 与输入正弦波的复数比，定义为非线环节的描述函数。 分析： 设 输入为： 则输出： 假设输出为对称奇函数，则 ；假设具有低通滤波特性，高次谐波可忽略。 此时，非线性环节可以用一个等效的元件来代替，该元件的输入信号和输出信号分别为 则非线性环节输出可认为 则输入、输出的复数比，即为描述函数，常用 表示。 二．典型非线性特性的描述函数 （1）饱和特性的描述函数 饱和特性的输入、输出特性为 当输入为正弦信号时 其输出信号的数学表达式 由于y(t)为单值对称函数，故有 注：其它典型非线性描述函数的描述函数计算方法相同。可参见表7-1 7.3 用描述函数法分析非线性系统 1、系统的稳定性分析 典型非线性系统结构图 闭环传递函数频率特性为 特征方程为 式中-1/N(A），称为非线性特性的负倒描述函数。 图a)，频率特性不包围负倒特性，稳定 图b)，频率特性包围负倒特性，不稳定 图c)，两特性相交，可能产生自振。 在例7.1中对具有非饱和非线性特性的非线性系统进行了分析，求得稳定的边界为K=7.5，即 （1）当K7.5时，系统线性部分的G(jω)曲线与非线性部分-1/N(A)曲线互不相交，系统不产生自持振荡。 （2）当K=7.5时，系统线性部分的G(jω)曲线与非线性部分-1/N(A)曲线端点相接，系统处于临界状态。 （3）当K7.5时，系统线性部分的G(jω)曲线与非线性部分-1/N(A)曲线相交，系统产生自持振荡。 原系统当A=0时，-1/N(A)=0；当A→∞时，