两个随机变量的函数的分布两随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布.ppt

第3-5节　两个随机变量的函数的分布 一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 2.极值分布 它们的概率密度函数分别为 四、小结 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结 一、问题的引入 　　为了解决类似的问题,下面 我们讨论两个随机变量函数的分布. 例1 概率 解 等价于 概率 结论 例2 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 得 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 解 可得 所以 例3 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为 于是 解 设 是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为 , 令 为一个二元函数, 则 是 的函数. 的分布. a) 求分布函数 其中, b) 求其概率密度函数 , 对几乎所有的z, 有 可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求 例4 设（X，Y）服从矩形域G=[0,2] ×[0,1]上的均匀分布，Z=XY，求Z的概率密度。 解：由题设，（X，Y）的联合密度为 易知，Z的取值范围是[0,2]，从而当 时 求导，得 1. Z=X+Y 的分布 几种常用的连续型随机变量函数的分布 下面求导 可得概率密度函数为 由于X 与Y 对称, 当 X, Y 独立时, 例5 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度. 得 说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服 然从正态分布, 例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布. 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例6 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 求Z=X+Y的概率密度 . 解: 由卷积公式 也即 于是 则有 故有 推广 若 X与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量,X的分布密度为p(x), 则M与N的分布密度为 上述结论可以推广到n维情形,即若设随机变量 相互独立同分布,令 则它们的分布函数分别为 例7 解