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第三章 晶体振动和晶体的热学性质 §3.1 一维原子链的振动一、一维布喇菲晶格的振动 二、一维复式晶格的振动 三、声学波和光学波的物理意义 四、周期性边界条件(波恩-卡门边界条件) §3.2 晶格振动的量子化 声子 §3.3 长波近似一、长声学波 §3.4 固体比热一、经典理论对定容比热的描述 二、量子理论对定容比热的描述 三、爱因斯坦模型 三、德拜模型 §3.5 非简谐效应一、非简谐效应 二、热传导 (2)波恩-卡门边界条件 假设对于给定的有限长为Na(a为晶格常数，N为原子个数)的晶体的边界之外，仍然有无穷多个和该晶体完全相同的晶体，并且这些完全相同的晶体内相对应的原子的运动状况是一样的，即第j(j=1,2,…N)个原子和第tN+j(t=1,2,…)个原子的运动情况是一样的。由于相互作用是短程的，所以，晶体内的绝大数原子受此假想晶体的影响很弱，完全可以忽略。 1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j 2.波恩-卡门边界条件在有限一维布喇菲格子中的应用 1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j 1号原子应和N+1号原子的振动完全相同。即： 2.波恩-卡门边界条件在有限一维复式格子中的应用 设晶体有N个原胞组成，每个原胞中含有两个不同的原子。由周期性边界条件可得：(2n+1)和[2N+(2n+1)]完全相同。即： 3.原胞数N和波矢q、角频率ω的关系 (1)不管是布喇菲格子还是复式格子，波矢q数目等于晶体中原胞的数目N。 (2)对于一维布喇菲格子，每个波矢q对应于一个角频率ω 。总的角频率个数为N个。 (3)对于一维复式格子，每个波矢q对应于n(n是每个原胞中包含的原子数目)个角频率ω。总的角频率个数为nN个。 4.结论 (1)晶格振动波矢的数目=晶体原胞数； (2)晶格振动频率的数目=晶体自由度数。 1.格波——描述晶格振动的波。对于微弱的晶格振动，在简谐近似的情况下，格波可以看成简谐波。每个格波都是一个独立的模式。可以用独立简谐振子来描述格波的独立模式。 2.声子(?ω)——简谐振子的能量量子。 ω振动模式的角频率。声子不是真正的粒子，而是表示状态的“准粒子”。晶格振动的能量是以?ω为单元来增、减能量的。格波与物质的相互作用可以理解为声子和晶体中原子、分子的相互碰撞。 3.三维晶体原胞数、波矢、模式数之间的关系 晶体有N个原胞组成，每个原胞中含有n个原子。 (1)波矢q数目——N。(晶体原胞数目) (2)晶体自由度数目——3nN。 (3)晶体频率ω数目——3nN。 (4)格波数目——3nN。 (5)格波支数——3n支。每只对应N个ω 。 (6)声学波支数——3支。共有3N个ω 。 (7)光学波支数——(3n-3)支，共有(3n-3)N个ω。 例如，分别由N个原胞组成的铝晶体和金刚石晶体中，声学波、光学波的分布情况。 铝晶体：铝是面心立方结构，因此格波中只有3支声学波，而没有光学波。声学波的个数为3N个。 金刚石：金刚石是复式格子，n=2，格波支数共有3n支，其中声学波3支，光学波(3n-3)=3支。 4.晶格振动的总能量 1.长声学波波速vp的计算 当波长很长时，q很小。 2.物理意义 相邻原胞中原子振动的位相差趋于零，而且振幅也趋于相等。 3.原因 这是由于长声学波的波长远远大于原胞的线度，在半个波长内就包含了许多原胞，这些原胞都整体的沿同一方向运动。因此整个晶格可以近似地看成连续介质，而长声学波也就可以近似地被认为是弹性波。 二、长光学波 对于长光学波，也可以在宏观理论的基础上进行近似处理。这就是黄昆于1951年首先提出的方法。离子晶体在作长光学波振动时，由于原胞内正负离子作相对运动，因而产生宏观极化（出现宏观电偶极矩）。从而可以和电磁波发生强烈相互作用。所以长光学格波与离子晶体的电学、光学性质有着密切的关系。可以利用黄昆的方法，直接由晶体的宏观性质确定长光学格波的频率。详细计算略。 例题：原子质量为m，间距为a，恢复力常数为 的一维简单晶格频率为 的格波 求 (1)该波的总能量， (2)每个原子的时间平均总能量． 解：(1)格波的总能量为各原子能量的总和，其中第n个原子的动能为 而该原子与第n十1个原子之间的势能为 若只考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为 将 代入上式得 设T为原子振动的周期