新北师大版九年级数学二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质.ppt

二次函数 4.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 a0,开口 向上; a0,开口 向下. 知识回顾 我们学过二次函数的哪几种形式？ 你能说出它的开口方向、对称轴与顶点坐标吗？ 函数表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 (2)y= － (x+1)2 1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1) y=2(x－3)2 －5 (3) y = 3(x+4)2+2 2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过 怎样的平移得到。 (1) y=2x2 向右平移 3个单位 y=2(x－3)2 向下平移 5个单位 y=2(x－3)2 －5 (2)y= － x2 向左平移 1个单位 y= － (x+1)2 (3) y = 3x2 向左平移 4个单位 知识回顾 y = 3(x+4)2 向上平移 2个单位 y = 3(x+4)2+2 你会平移二次函数y=3x2的图象得到y=3x2-6x+5的图象吗？ 想一想 只要将表达式右边进行配方就可以知道了。 y=3x2-6x+5 =3(x-1)2+2 配方后的表达式 通常称为顶点式 例1.二次函数 图像的对称轴和顶点坐标。 解： 因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标是（2，-1）. 做一做 提取二次项系数 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 变为完全平方形式 去掉中括号，整理成顶点式 练一练 确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标。 （1）y=3x2-6x+7 （2）y=-2x2-12x+11 例.求次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标． 函数y=ax2+bx+c的顶点式 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 1：提取二次项系数 :2：配方:加上再减去一次项系数一半的平方 :3：变为完全平方形式 探究新知 :4：去掉中括号， 整理成顶点式 ? 因此,二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称． ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶你是怎样计算的？与同伴交流. 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用 y/m x/m 桥面 -5 0 5 10 ⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离; y/m x/m 桥面 -5 0 5 10 ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗? y/m x/m 桥面 -5 0 5 10 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2+bx+c(a0) y=ax2+bx+c(a0) 由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定 向上 向下 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 小结 二次函数y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c与图象的关系 a决定图象的形状 开口方向 开口大小 a 越大图象开口越小 a 越小图象开口越大 当a 0 时 开口向上 当a 0 时开口向下 b影响对称轴的位置 当b=0时，对称轴为 . 当ab0时，对称轴在y轴 . 当ab0时，对称轴在y轴 . y轴 左侧 右侧 “同左异右” c 确定图象与y轴的交点：（0，c) 当c＝0时图象过 . 当 c 0时图象与y轴 半轴相交 原点 正 当c 0时图象与y轴 半轴相交 负