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南开中学2014届高三第一次月考数学试卷（理） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.，，则（　　） （A）　　 （B）　　 （C）　　 （D） （2）在四边形中，，，则四边形是（　　） （A）直角梯形　　 （B）菱形　　 （C）矩形　　　 （D）正方形 （3）已知向量，，若，则（　　） （A）-3 （B）3 （C）1 （D）-1 （4）函数的图象的一个对称中心是（　　） （A） （B） （C） （D） （5）已知曲线的极坐标方程为，则其直角坐标下的方程是（　　） （A）　 　（B） （C）　　 （D） （6）不等式的解集是（　　） （A） 　（B） 　（C） 　（D） （7）的外接圆的圆心为，半径为2，，且，则向量在方向上的投影为（　　） （A） 　 　（B）3　 　（C）　　 （D）-3 （8）已知，命题：， 命题：两个关于的不等式，解集相同， 则命题是命题的（ ）条件 （A）充分必要 　 （B）充分不必要 （C）必要不充分　 　（D）既不充分也不必要 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题分，共分.把答案填在题中横线上.） ，则的值为___________. （10）在中，，，，过作的外接圆的切线，，与外接圆交于点，则的长为___________. （11）在中，角所对的边分别为，若、、成等差数列，则角___________. （12）将函数图象上所有点的纵坐标缩小到原来的，横坐标伸长到原来的2倍，再将图象向左平移，则所得图象解析式为____________________. （13）已知为平行四边形中边与边的中点，且，，则___________. （14）命题：关于的方程有实根，命题：关于的函数在上是增函数，若是的必要不充分条件，则的取值范围是________________. 三、解答题（本题共6道大题，满分分） ，相邻两条对称轴之间的距离是. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当时，求函数的最值及相应的值. （16）（本小题满分13分） 某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲，乙，丙通过量化监测. 假设该技术的指标甲，乙，丙独立通过检测合格的的概率分别为，并且甲，乙，丙指标检测合格分别记4分，2分，4分。若某项指标不合格，则该项指标记为0分，各项指标的检测结果互不影响. （Ⅰ）求该项技术量化得分不少于8分的概率； （Ⅱ）记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列及数学期望. （17）（本小题满分13分） 如图，在正三棱柱中，，为的中点. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）平面与平面所成的二面角（锐角）的大小. （18）（本小题满分13分） 已知函数，其中. （Ⅰ）若，求函数的单调增区间和最小值； （Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，求的值 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求面积的最大值. （19）（本小题满分14分） 已知函数. （Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）若关于的方程有解，求实数的取值范围； （Ⅲ）若，关于的方程有两解，求实数的取值范围. （20）（本小题满分14分） 已知直线的参数方程为（为参数，），圆的参数方程为（为参数）. （Ⅰ）试判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）当时，求直线与圆的相交弦长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若有定点，过点的动直线与圆交于两点，是的中点，与交于点，探究是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出定值，若有关，请说明理由. 第 1 页 共 5 页