第三章 热传导问题的数值解法.ppt

P188，题4-10：迭代方程: → 小结 例题解析 * 用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点 ( 结点 ) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号 m ， n 表示。相邻两节点间的距离称步长。 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下： ?? 首先划分各节点的类型； ?? 其次，建立节点离散方程； ?? 最后，代数方程组的形成。 * * * * * * * 泰勒级数站开放只从数学角度推导，而热平衡法则从能量守恒角度来分析，物理概念清晰，推导过程简捷，容易掌握； 泰勒级数展开法可以方便地列出内节点的离散方程，但对于边界节点则比较困难； 到导热材料的物性或内热源分布不均匀时，泰勒级数展开法束手无策，而热平衡法处理起来则比较方便。 * * * * * * * * * Company LOGO 第三章 导热问题的数值解法 任好玲 机电实验大楼B506 TelQQ 一、导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建 二、边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 三、非稳态导热问题的数值解法（自学） 四、导热问题数值计算实例 主要内容 数值求解的基本思想及常用的数值求解方法 有限差分法 节点离散方程的建立——泰勒级数展开法与热平衡法。 节点离散方程(组)的求解 直接求解; 简接求解——高斯-赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法 非稳态导热问题数值求解的有关概念 重点：用热平衡法建立稳态导热问题的离散方程，数值求解的高斯-赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法 主要内容 数值求解的基本方法及过程 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数值计算 法；(3) 实验法 三种方法的基本求解过程 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解； 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解； 实验法， 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法 主要内容 数值求解方法的特点 分析法 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； 局限性很大，对复杂的问题无法求解； 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见. 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低 实验法: 是传热学的基本研究方法 适应性不好； 费用昂贵. 有限差分法（finite-difference） 有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element） 分子动力学模拟（MD） 导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立 物理问题的数值求解过程 建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化） 建立节点物理量的代数方程 设立温度场的迭代初值 求解代数方程 是否收敛 解的分析 改进初场 是 否 导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立 有限差分法 解方程 , 并用节点的解的集合( 离散值 )来代替原物体内的连续温度分布 离散：将连续体用网格分割成有限单元体 取节点：以单元体的中心点代表该单元体 建立节点离散方程：对每一单元体按一定方法，将针对微元体得出的导热微分方程简转化成针对有限单元体的节点离散方程( 代数方程组 ) 导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立 有限差分法 例题：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题 控制方程：是指描写物理问题的微分方程 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为： 其四个边的边界条件为三个边界条件中的一种，三个边界条件为： 控制容积、网格线、节点、界面线、步长 导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立 有限差分法 例题：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题 建立节点物理量的代数方程（离散方程） 首先划分各节点的类型； 其次，建立节点离散方程； 最后，代数方程组的形成。 对节点 (m,n) 的代数方程，当 △x=△y 时，有 设立迭代初场 :直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进 导热问题数值求解的基本思