平面向量基本定理_中学数学心概念平面向量基本定理_中学数学核心概念平面向量基本定理_中学数学核心概念平面向量基本定理_中学数学核心概念.doc

“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计案例之二平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐标表示上海曹杨二中　桂思铭 ? ? ? 　　二、目标和目标解析 ? ? 　 　 三、教学问题诊断分析 ? 前面学生已经掌握了平面向量的线性运算,本节课的目的是要帮助学生建立向量的坐标.这中间实际上有两个问题,先是运用已有的知识去研究一个问题(向量的基本定理),然后以这个定理为基础建立一个新的研究体系(建立平面向量的坐标) ?本节的内容是围绕向量在两个基底上的唯一分解展开的，对于基底的认识和理解是学生在学习中已在运用的,在物理中已有了将力、速度（向量）进行分解合成的经验，在前面的向量学习中已有向量线性运算的经验，只是没有专门提出而已,所以引入基底这一概念应该是比较自然的，但相当一部分学生在学习中只是依样画葫芦，并不清楚引入基底这个概念的意义，当然更不能很好地选择、运用基底进行运算求解,有了平面向量基本定理教师可以运用定理说理，让学生理解基底的作用及意义.所以在这一点上教师应注意在教学中进行设计引导. ?对于平面向量的基本定理,有些学生只是从形式上加以记忆,缺乏对问题本质的理解,从卷面上看学生可能不会有什么大的问题,但学生对于数学的理解肯定会产生影响,所以在这一内容的教学中教师要不断地帮助学生进行反思,通过对教学过程的反思来帮助学生改进学习方法,这也是改善学生的思维品质,提升学生的数学能力的一个途径,这一过程是隐性的、长期的，但这也是必须的. ?学生在向量的学习中存在的一个困难是学生在理解始点不在坐标原点的向量的坐标表示时会出现障碍，其原因是在直角坐标系中点和点的坐标是一一对应的,到了向量时,向量的坐标只是和从原点出发的向量一一对应,但只要结合向量相等的条件学生应该容易克服这一难点,不过值得注意的是在后面学生用向量求点的坐标时还会产生问题,如已知了向量及点的坐标求点的坐标,有些学生还会发生错误,这时还必须结合图形及向量的坐标帮助学生进行理解,必须使学生在这种特定的场合中明白:要求点的坐标就是要求向量的坐标.同样一个问题也需要学生从不同的侧面来帮助理解. ? 四、教学支持条件分析 ? 这里对于平面向量基本定理的研究,并不是严格的证明,为了能便于说明问题建议通过教育技术的运用来帮助学生理解,这一过程最好能在教学中有充分地展现,这也是关注教学过程,帮助学生养成动手动脑的习惯.另外现在的许多软件具有很强的交互性,所以在教学中可以充分地运用技术,使学生的学习富有乐趣,同时又可以通过不同的方式来刺激学生,帮助学生迅速地掌握教学内容. ? 五、教学过程设计. ?1.平面向量基本定理 ? 　　 ?　　中,,,且与边相交于点,的中线与相交于点,设,,用表示向量,,,,,,. 类似的,用两个不共线的向量来表示其它向量的问题在例题和习题中还有多处. 从这些题目中我们不难发现,图中所有的向量都可用向量来表示,那么自然地会问这样一个问题:平面内的任意一个向量是否都能用类似12题的方法,用给定的两个不共线的向量来表示呢? 　　 　　 说明通过电脑作图让学生体会可能与,中的一个共线,也可能与,都不共线, 引导学生得出结论.教师也可以通过在电脑作图来展示不同的、所作出的向量. ? 事实上在物理上也常有将一个力分解成若干个力,将几个力合成为一个力.可以看作是力的分解合的成向量表示形式. 从前面的研究及力的分解合成的经验可以发现:向量,中的,是唯一确定的. ?由此我们有定理: ?平面向量基本定理： 如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使 ? 我们把不共线的向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base). ?例1已知向量,求作向量. ? 　　说明教师可用电脑作图,演示结果. 实际上前面已经在不自觉地利用基底解题,如我们在计算力,与速度问题时,常进行分解合成,目的也是将问题集中到两个向量(基底)上来处理.前面的习题中我们已经做了许多有关向量的加法、减法、数乘，由向量基本定理，我们就可以将一个问题中的若干向量集中到两个向量上，这样就方便了我们的计算. ?　　分析 由平面向量的基本定理可知向量及用一组基底来唯一表示,要证明四边形是平行四边形,只要证明用相同的基底表示出来的向量及是相同的即可.(分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更深入一步) ?　　　　　　　　 ?,?则 ?　　　　, ?　　　　而. ?　　　　所以,四边形为平行四边形. ?　　不共线的向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:已知两个非零向量,,作,,则()叫做向量