平面向量基本定理和向量的正分解及坐标表示平面向量基本定理和向量的正交分解及坐标表示平面向量基本定理和向量的正交分解及坐标表示平面向量基本定理和向量的正交分解及坐标表示.ppt

* * 1：判断下列例题是否正确，若不正确，请简述理由 （1）向量 与 （2）单位向量都相等。 （3）任意一向量与它的相反向量不相等。 （8）共线向量，若起点不同，则终点一定不同。 是共线向量， 则A、B、C、D四点必在一直线上。 （4） 与 共线 ，与 共线，则 与 共线。 （5）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点。 （6） 与 不共线 ，则 与 都不是零向量。 （7）平行向量，若起点不同，则终点一定不同 复 习 回 顾 火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和。 问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？ 设e1,e2是平面内两个不共线的向量，是平面内任一向量. e1 e2 e2 B A C N M O e1 1、平面向量的基本定理: 如果e1,e2是同一平面的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1，λ2，使 a= λ1 e1 +λ2 e2 2、我们把不共线的向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一组基底(base)。 注意： ①向量e1、e2 不共线； ②λ1、λ2 唯一确定。 3、一个平面向量a用一组基底e1、e2表示成 的形式，我们称它为向量的分解。 a= λ1 e1 +λ2 e2 4、向量的夹角 O B A 已知非零向量 a 和 b ，如下图所示， ，则∠AOB= 叫做向量 与向量 的夹角 规定： 与 同向时， 与 同向时， 规定： 时， 与 垂直 例1：已知 ABCD的对角线AC和BD交于点 M， ，试用基底 来表示 （1）一个平面向量的基底有多少对？ （有无数对） 思考 E F F A N B a M O C N M M O C N a E 思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同） O C F M N a E E A B N OC = 2OB + ON OC = 2OA + OE OC = OF + OE 特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ： 可使 0 = + . = = 0 ？若 与 中只有一个为零，情况会是怎样？ 特别的，若a与 （ ）共线，则有 =0（ =0），使得: a = + . 已知向量 求做向量-2.5 +3 例3： 、 O A B C · 5、平面向量的基本定理: 如果e1,e2是同一平面的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1，λ2，使 a= λ1 e1 +λ2 e2 我们把不共线的向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一组基底。 一个平面向量用一组基底e1、e2表示成 的 形式，我们称它为向量的分解。 a= λ1 e1 +λ2 e2 当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。 火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。 在直角坐标系中，点M（2，3），若取x轴 和y轴上的单位向量 为基底，则向量 (O为坐标原点)可表示为_________ X y 2 3 M(2,3) 在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,对于任一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得 a= x i+y j ① 则把（x,y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x,y) ② 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标， ②式为向量的坐标表示。 显然： i=（1，0） j=（0，1） 0=（0，0） 6、平面向量的坐标表示 X y M(x,y) 思考：1、如图在这种定义下与a相等的向量坐标是什么？ A x y