第三章 随机向量.ppt

* * 第三章 随机向量 主页 退出 例：射击弹着点的位置。须由平面直角坐标系的两个坐标确定 定义2.4：设E为随机试验，样本空间为?，X和Y是定义在 ?上的 两个随机变量，向量（ X，Y）称为二维随机变量 由于这些随机变量共处于同一随机试验中，它们是相互 联系的，因此单独研究某一个是不够的，必须考虑各个变量 的相互关系，把其作为一个整体（即随机变量）来讨论。 同时掷两枚骰子出现的点数。须由两个随机变量来描述 对于二维随机变量（ X，Y），既要研究（ X，Y）作为 整体的分布及相互关系，又要研究它们自身的分布 。 §3.1 随机向量及其分布 一 二维随机变量的定义 二 二维随机变量的分布 1 二维随机变量的联合分布 定义 设（ X，Y）为二维随机变量，对于任意的x，y， 二元函数 F(x ,y)=p(X?x ,Y?y) 称为（ X，Y）的分布函数。或称为 X与Y的联合分布函数 联合分布函数的几何含义： 联合分布函数在点(x , y)处的函数值F(x , y) 就表示随机点落在以(x ,y)为顶点的左下方的无穷矩形区域 (- ? u ? x , - ? v ? y) 内 的概率。 (x , y) ? x y o 联合分布函数的性质： (1) F(x ,y)是变量 x 或 y 的单调不减函数。即： 对任意固定的y，当x2 x1时，F(x2 , y)? F(x1 , y) 对任意固定的 x，当 y2 y1时，F(x , y2) ? F(x , y1) o x x1 x2 y y1 y2 (2) 对任意的 x 和 y 都有： 0 ? F(x , y) ? 1 (x , y) ? x y o (3) 当 x1 x2 ， y1 y2 时，有 P(x1X ? x2 , y1Y? y2) = F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1) 定义：二维随机变量 (X,Y ) 中，随机变量X（或Y）自身的 分布称为(X ,Y )关于X （或Y）的边缘分布。 结论：设(X , Y ) 的联合分布函数为 F(x , y)，则有 2 边缘分布 边缘分布函数：X的分布函数 FX (x) 和 Y的分布函数FY ( y) 边缘分布函数可由联合分布函数确定。 3 随机变量的独立性 定义：二维随机变量 (X , Y ) 中，联合分布函数和边缘分布 函数分别为F(x，y)， FX (x)，FY ( y）。若满足 F(x，y)=FX (x)FY ( y） 则称随机变量 X 和 Y 相互独立。 二维离散型 随 机 变 量 定义：如果二维随机变量 (X , Y ) 所有可能取的数对是 有限个或可列个，则称 (X , Y ) 为二维离散型随机变量。 1 二维离散型随机变量的联合分布 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y j y 2 y 1 x 1 x 2 x i p 11 p 12 p 1j p 21 p 22 p 2j p i1 p i2 p i j ? ? ? ? ? ? ? ? Y X 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的数对为 (x i , y j ) (i , j = 1, 2, ? ) 则 P (X = x i ，Y = y j ) = p i j (i , j = 1, 2, ? ) 称为二维离散型随机变量(X , Y )的联合概率函数或联合分布。 (X , Y )的联合分布表： (1) pi j ? 0 , i , j = 1 , 2 , … 联合概率分布的性质 (2) （ X , Y）的可能取值为：（i，j）， i，j=1，2，3 例： 　　 盒中装有标号1，2，2，3的4个球，从中任取一个并 且不再放回，然后再从盒中任取一球。以X , Y分别记为第一，二次取到球上的号码数，求（ X , Y）的联合分布。 解： P(X=1,Y=1)= P(X=1,Y=2)= P(X=1,Y=3)= P(X=2,Y=1)= P(X=2,Y=2)= P(X=2,Y=3)=