第三章 集合的基本概念和运算.ppt

第三章 集合的基本概念和运算 §3.1 集合的基本概念 §3.2 集合的基本运算 §3.3 集合中元素的计数 §3.4 例题分析 特别注意： ① 集合并不决定于它的元素展示方法。集合的元素被重复或重新排列，集合并不改变， 即{a, a ,e, i, o, u}= { a, u, e, o, i}。 但有时对重复出现的元素都认为是集合的元素， 这种集合称为多重集。 即{a, a, e, i, o, u, u}?{a, e, i, o, u}。 本书中集合在不特别指明时，都指前者，即①中 的集合（没有重复出现的元素）。 ② 集合的元素可以是具体事物，可以是抽象概念，也可以是集体，不是集合的元素称为本元。如，一本书，一支笔，集合{1,2,3}可以组成集合B={一本书，一支笔，{1,2,3}} 。 特别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类如A={{1,2,3}, { 8,9,6}}。 ③ 集合中元素之间可以有某种关联，也可以彼此毫无关系。 树形结构表示结合和元素之间的关系 几类特殊集合 N={0,1,2,3,···}，即自然数集合。 Z={···,-2,-1,0,1,2,3,···}，即整数集合。 Z+={1,2,3,···}，即正整数集合。 Q=有理数集合。 R=实数集合。 C=复数集合。 例3.2 对于任意集合A, B和C, 下述论断是否正确 （1）若A?B, B ?C 则A?C （2）若A?B, B ?C 则A ?C （3）若A ?B, B?C 则A?C (4) 若A ?B, B?C 则A ? C 解：（1）√ （2） × （3）× 对(3)举反例 A= ?, B= {1}, C= {{1}} 例3.3 下列各选项错误的是 （1） ? ? ? （2） ? ? ? （3） ? ? { ? } （4） ? ? { ? } 例3.4 在0 ___ ? 之间填上正确的符号 （1） = （2） ? （3） ? （4） ? 集合的元素一旦给定，这一集合便完全确立。这一事实被形式地叙述为外延公理。 外延公理：两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A?B。 外延公理可形式表为： A=B?(?x)(x?A?x?B) 或者 A=B?(?x)(x?A?x?B)?(?x)(x?B?x?B) 也就是说：如果A＝B，则x?A?x?B 集合的包含关系也可表成 A?B?(?x)(x?A?x?B) 这表明，要证明A?B，只需对任意元素x，有下式 x?A?x?B成立即可。 此外，若集合B不包含集合A，记为A?B。 序列 ?，{?}，{?，{?}}，··· 该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素的集合。它即是冯·诺依曼在1924年使用空集?给出自然数的集合表示： 0:=?，1:={?}，2:={ ?,{?}}，··· 定义3.5：全集 如果一个集合包含了所要讨论的每一个集 合，则称该集合为全集，记为E 或 U。它可 形式地表为 E ={x | P(x)??P(x)} 其中P(x)为任何谓词公式。 并 A?B = { x | x?A ? x?B } 交 A?B = { x | x?A ? x?B } 相对补 A?B = { x | x?A ? x?B } 对称差 A?B = (A?B)?(B?A) = (A?B)?(A?B) 绝对补 ?A = E?A 文氏图表示 运算顺序： ?和幂集优先，其他由括号确定 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即 A1?A2?…An= {x | x?A1?x?A2?…?x?An} A1?A2?…An= {x | x?A1?x?A2?…?x?An} 某些重要结果 ??A?B?A A?B ? A?B=? A?B=? ? A?B=A F:一年级大学生的集合 S：二年级大学生的集合 R：计算机系学生的集合 M：数学系学生