2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案.doc

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案. 把答案填在题中横线上） (1) 若，则a =，b =. 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为，且，所以 ，得a = 1. 极限化为 ，得b = (4. 因此，a = 1，b = (4. (2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ( 0， 则. 【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =， 所以，，. (3) 设，则. 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ( 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可. 【详解】令x ( 1 = t， ＝. (4) 二次型的秩为 2 . 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换 或配方法均可得到答案. 【详解一】因为 于是二次型的矩阵为 , 由初等变换得 , 从而 , 即二次型的秩为2. 【详解二】因为 , 其中 . 所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 . 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于, 的分布函数为 故 . (6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布, 和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则 . 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案. 【详解】因为 , , 故应填 . 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数在下列哪个区间内有界. (A) ((1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x) 在(a , b)内有界. 【详解】当x ( 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，， ，，， 所以，函数f (x)在((1 , 0)内有界，故选(A). (8) 设f (x)在((( , +()内有定义，且， ，则 (A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点. (C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元， 可将极限转化为. 【详解】因为= a(令)，又g(0) = 0，所以， 当a = 0时，，即g(x)在点x = 0处连续，当a ( 0时， ，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性 与a的取值有关，故选(D). (9) 设f (x) = |x(1 ( x)|，则 (A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设0 ( 1，当x ( ((( , 0) ( (0 , ()时，f (x) 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x) 的极小值点. 显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x ( ((( , 0)时，f (x) = (x(1 ( x)，， 当x ( (0 , ()时，f (x) = x(1 ( x)，，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. 故选(C). (10) 设有下列命题： (1) 若收敛，则收敛. (2) 若收敛，则收敛. (3) 若，则发散. (4) 若收敛，则，都收敛. 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4