the generalization and application of the total probability formula and the bayesian formula.doc

全概率公式与贝叶斯公式的及 摘 要 本文将全概率公式与贝叶斯公式进行了推广，并举例说明了推广后的公式在实际应用中比原来的公式更广泛．此外，本文结合实例说明了全概率公式与贝叶斯公式及它们的推广定理在产品检验、统计决策中的应用． 关键词 完备事件组；全概率公式；贝叶斯公式；先验概率；后验概率 中图分类号 O2119 The generalization and application of the total probability formula and the bayesian formula Abstract: In this paper，we generalize the total probability formula and the bayesian formula，using many examples to illustrate that the generalizable formulas in the practical application are wider than the original formulas．Moreover，this paper combines many examples to explain the total probability formula and the bayesian formula and their generalizable theory in checking product，statistical decision． Keywords: Complete event group；The total probability formula；The bayesian formula；The prior probability；The posterior probability 1 引言 全概率公式与贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，起源于17世纪．发展到现在，已经深入到科学与社会的许多领域．从17世纪到现在很多国家对这两个公式有了多方面的研究．长期以来，在大批概率统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，形成了众多分支，在现代数学中占有重要的地位．其中贝叶斯公式于1763年由贝叶斯给出．它是在观察到事件发生的每个原因的概率．贝叶斯公式在实际生活中有广泛的应用，它可以帮助人们确定某结果(事件)发生的最可能的原因．目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考虑以往的信息现状从而作出综合判断，决策概率分析这门学科越来越显示其重要性．其中贝叶斯公式主要用于处理与，是进行统计决策的重要工具． 概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征．利用数学方法，充分利用好全概率公式和贝叶斯公式及其推广形式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进对病人的对症施治．两个概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息．灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，而这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具． 2 预备知识 定义 如果个事件满足下列两个条件 (1)两两不相容； (2)； 那么，我们称这个事件构成样本空间的一个划分，也称构成一个完备事件组． 定义 (乘法公式) 设是个事件，时，则 定义 (加法公式) 设是任意的个事件，则 引理 设个事件构成样本空间Ω的一个划分，是一个事件，当时，则有 (1)全概率公式 (2)贝叶斯公式 引理说明目标事件发生的概率是在划分基础上两两事件组的概率之和，可视为事件的诱发事件，为诱发成功的可能；若已发生，则来自诱发成功的可能是，这本是一个条件概率使用乘法公式和全概率公式之后得到贝叶斯公式． 3 主要结论及证明 定理31 设是先后个随机实验过程中的划分，为目标事件．当 时，则有 (1)全概率推广公式 (2)贝叶斯推广公式 其中， 证明 (1) (2) 同理，可证其他的个结论．其中， 推论31 设是一列事件，添加后，或其自身构成样本空间的一个分割，则对任意事件，当有 例1 设甲、乙、丙三个士兵同时向一个目标射击，每人击中目标的概率为，一人击中目标被摧毁的概率是，两人击中目标被摧毁的概率是，三人被击中目标摧毁的概率是，求目标被摧毁的概率． 解 令目标被摧毁，=有个人击中目标， ，