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2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 【解析】：，所以为垂直的 ，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选 （2） 【答案】： 【解析】： 所以 （3） 【答案】： 【解析】：由于在处连续，可知如果存在，则必有 这样，就可以写成，也即极限存在，可知，也即。由可微的定义可知在处可微。 （4） 【答案】：(D) 【解析】：看为以为自变量的函数，则可知，即可知关于在上为单调增函数，又由于，则，故选D （5） 【答案】：（C） 【解析】：由于，可知线性相关。故选（C） （6） 【答案】：（），则， 故 故选（）的联合概率密度为 则 （8）【答案】： 【解析】：设两段长度分别为，显然即，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1 二、填空题：9(14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. 【解析】：特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。 故 （10） 【答案】： 【解析】：令得 （11） 【答案】： 【解析】： （12）【答案】： 【解析】：由曲面积分的计算公式可知，其中。故原式 （13） 【答案】： 【解析】：矩阵的特征值为，故的特征值为。又由于为实对称矩阵，是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即。 （14） 【答案】： 【解析】：由条件概率的定义，， 其中， ，由于互不相容，即，，又 ，得，代入得，故. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.，可得 当时，有，，所以， 故，而，即得 所以。 当，有，，所以， 故，即得 可知， （16） 【解析】：， 先求函数的驻点. ，解得函数为驻点为. 又， 所以，故在点处取得极大值. （17） 【解析】： （18） 【解析】：（1）曲线在任一处的切线斜率为，过该点处的切线为，令得.由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为. 故有，又因为 所以，两边同时取不定积分可得，又由于，所以.故函数. （2）此曲线与轴和轴的所围成的无边界的区域的面积为： . （19） 【解析】：设圆为圆,圆为圆，下补线利用格林公式即可，设所补直线为,下用格林格林公式得：原式 （20） 【解析】：（Ⅰ） （Ⅱ） 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。 此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得 可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为 线性方程组存在2个不同的解，有. 即：，得或-1.当时, . （21） 【解析】：1）由可得， 2） 则矩阵 解得矩阵的特征值为： 对于得对应的特征向量为： 对于得对应的特征向量为： 对于得对应的特征向量为： 将单位化可得： ，， （22） 【解析】： X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 （1） （2） ，其中 , 所以，，，,. （23） 【解析】：（1）因为，且与相互独立，故， 所以，的概率密度为 （2）似然函数 解得最大似然估计值为， 最大似然估计量为 （3） 故为的无偏估计量。