线性代数第一章.ppt

第一章 矩 阵 矩阵及其运算 初等变换和初等矩阵 行列式 逆矩阵 矩阵的秩 §1.5 行列式 §1.5 行列式 一、n级排列 定义：由数1,2,…, n组成的一个有序数组，称为一个全排列或n 级排列. 显然n个数的全排列共有n!个. 定义：在n个自然数的全排列中排列123 ??? n称为标准排列或自然序排列. 定义：在一个排列中，若两个数前者大于后者，则称 这两个数构成一个逆序. 一个排列 j1 j2…jn中逆序的总 和称为该排列的逆序数，记作t (j1 j2…jn) . 逆序数为偶 数的排列为偶排列，逆序数为奇数的排列为奇排列. n级排列 逆序数的计算： 在排列p1p2 ??? pn中? 如果pi的前面有ti个大于pi的数? 就说元素pi的逆序数是ti ? 排列的逆序数为 t ? t1? t2? ??? ? tn 例9 求下列排列的逆序数 t (32514): t (32514):?0?1?0?3?1?5? t (35214)= t (34512)= t (12345)= 定义: 将排列中的两个数对调，其他数不变，这样的变换称为对换. 定理: 任意一个排列经过一个对换后其奇偶性改变. §1.5 行列式 t5?1? t4?3? t3?0? t2?1? t1?0? 0 6 6 n级排列 二、行列式的定义 1. 定义：设矩阵A = (aij)n?n , 利用n?n个元素组成一个算式，记作 其中t =t (p1p2…pn) , §1.5 行列式 共 n!个 称该算式为n阶行列式，记作|A| , detA , D. 行列式的定义 二阶行列式 三阶行列式 注意，四阶以上的行列式不适用对角线法则. §1.5 行列式 a12a21 a11a22 = ? ?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 ?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31? 对角线法则 行列式的定义 例10：求下列行列式的值 解： §1.5 行列式 = a11 a22…ann . = a11 a22…ann . 三角形行列式 行列式的定义 例10：求下列行列式的值 解： §1.5 行列式 = a11 a22…ann . = a1n a2 n-1…an1 . 对角型行列式 行列式的定义 三、行列式的性质 性质1：|AT| = |A| . 说明，行与列的地位是相同的，行具有的性质，列也具有. 性质2：互换行列式中的两行(列), 行列式变号. 推论：若行列式 D 中有两行(列)完全相同, 则 D = 0. 性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式? 特别的， |kAn| = kn|An| 性质4：行列式中如果有两行(列)元素成比例，则行列式等于零.? §1.5 行列式 行列式的性质 性质5：若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和，则行列式等于两个行列式之和，即 例如 §1.5 行列式 行列式的性质 性质6：把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变. 即 性质7：设A, B为同阶方阵, 则|AB| = |A||B|. 性质8：初等矩阵的行列式为 |E(i,j)|= –1 ; |E(i(k))|= k ; |E(i,j(k))|= 1 . §1.5 行列式 行列式的性质 四、行列式的计算 1. 三角化法 利用性质将行列式化成三角形行列式. 性质2：互换行列式中的两行(列), 行列式变号. 性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式? 性质6：把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变. §1.5 行列式 = a11 a22…ann . 行列式的计算 例11：计算 §1.5 行列式 行列式的计算 解： §1.5 行列式 c1?c2 r2?r1 r4?5r1 r3+2r2 r4?8r2 r2?r3 第二行提出2 行列式的计算 例12：计算下列行列式 §1.5 行列式 行列式的计算 例13：计算n阶行列式 其中n ≥ 2， x ≠a. §1.5 行列式 行列式的计算 解： §1.5 行列式