一道证明题及其推广.doc

一道证明题及其推广 高等数学中关于含有多个的关系式的命题的证明问题，往往利用拉格朗日中值定理证明之．本文利用介值定理和拉格朗日中值定理先证明几个命题，之后对命题进行了推广．在证明过程中充分体现了点的选取之重要性． 1 命题 根据文献[1]给出命题: 设函数在上连续，在内可导，且，，．则存在，使得． 2 命题的证明 因，，，知．因，在上连续，由介值定理知，存在，使得．而在区间和上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得 ， 注意到 ，因此有， 和，两式相加得，．证毕． 注：满足该命题条件的函数很多，比如，。 3 主要结论 在上述命题的证明过程中，在区间找到合适的点，且满足是很重要的一步，而是函数值域的中点．考虑取值域的等分点，令，在（这里取）上分别运用拉格朗日中值定理，得到如下更一般的结论。 结论1 条件同命题，则存在，使得． 结论1证明 因，由介值定理知，存在，使得．记.注意到，函数在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得， 即 左右两边对求和，得 ．证毕． 注 观察命题的结论，稍作变形为，据此得到启发，若取，，能否证明？ 结论2 条件同命题，则，且，存在，使得． 结论2证明 因，故由介值定理知，存在，使得．注意到在和满足拉格朗日中值定理的条件，故存在，使得 ，， 即 和，两式相加得，．证毕． 事实上，在命题的基础上（条件同命题），可进一步作如下推广． 结论3 ，且，存在，使得 ． 结论4 ，存在，使得． 结论5 ，存在，使得． 结论3证明 因，由介值定理知，存在，使得 ，． 记，则，．注意到函数在上满足拉格朗日中值定理的条件知，故存在，使得， 即，两边对求和，即得 ．证毕． 结论4证明 当时，结论显然成立．下证时结论也成立． 当时，因，由介值定理知，存在，使得．注意到函数在区间和上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得 ，， 即 和，即，．证毕． 结论5证明 因，由介值定理得，存在 ，使得．显见，．注意到函数在区间上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得 即，上式两边对求和，得 ．证毕． 注 注意到上述命题与结论中和的取值均有限制，有局限性．为此笔者推广了如下更一般的结论： 结论6 条件同命题，则，存在，使得． 结论6证明 记 ，，，， 则．由介值定理知，存在，使得，这里，．注意到函数在区间上满足拉格朗日中值定理条件，故存在 ，使得 ， 即 ，上式两边对求和，得 ．证毕． 4 结语 本文利用拉格朗日中值定理、介值定理，由命题这一简单结论出发，推广出了一系列更有价值的结论，直到得出结论6这个总结性的结论．对学生高等数学的学习和高校教师的教学有指导意义． 参考文献 [1] 卢兴江，金蒙伟．高等数学竞赛教程[M]．浙江大学出版社，2009. [2] 徐兵．高等数学证明题500例解析[M]北京：高等教育出版社，2007：173-175 [3] 同济大学应用数学系．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2007. [4] 秦体恒,许雁琴,王秀梅探究分段函数在分段点处导数的一种求法河南机电高等专科学校学报2009，（2）彭秀颀电大理工http://wenku.baidu.c, 2012 2