1994年全国高中数学联赛题及解答1994年全国高中数学联赛试题及解答1994年全国高中数学联赛试题及解答1994年全国高中数学联赛试题及解答.doc

1994年全国高中数学联赛试题 第一试 一、选择题(每小题6分，共36分) 1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c0都成立的充要条件是 (A) a，b同时为0，且c0 (B) =c (C) c (D) c 2、给出下列两个命题：设a，b，c都是复数，如果a2+b2c2，则a2+b2－c20设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c20，则a2+b2c2那么下述说法正确的是 (A)命题正确，命题也正确 (B)命题正确，命题错误 (C)命题错误，命题也错误 (D)命题错误，命题正确 3、已知数列{an}满足3an1+an=4(n≥1)，且a19，其前n项之和为Sn，则满足不等式Sn－n－6|的最小整数n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 4、已知0b1，0a，则下列三数x=(sina)，y=(cosa)，z=(sina) (A)xzy (B)yzx (C)zxy (D)xyz 5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)( π，π) (B)( π，π) (C)(0，) (D)( π，π) 6、在平面直角坐标系中，方程=1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 二、填空题(每小题9分，共54分) 1已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(?1，1)和(2，2)，若直线lx+my+m=0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是 2．已知xy∈[－，]，a∈R且则cosx+2y) = ． 3．已知点集Ax，y)|(x－3)2+(y－4)2≤()2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2()2}，则点集AB中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 4．设0θπ，，则sin1+cosθ)的最大值是 5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sinα= 6．已知95个数a1a2，a3，…，a95， 每个都只能取+1或1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2a1a3+…+a94a95的最小值是 第二试 一、(本题满分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=2,求|m|的最大值和最小值. 二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。 三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I∠B=60(,∠A∠C,∠A的外角平分线交圆O于E证明:(1) IO=AE (2) 2RIO+IA+IC(1+)R． 四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集P={P1，P2，…，P1994}, P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G) (1)求m(G)的最小值m0 (2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形1994年全国高中数学联赛一、选择题(每小题6分，共36分) 1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c0都成立的充要条件是 (A) a，b同时为0，且c0 (B) =c (C) c (D) c asinx+bcosx+c=sin(x+φ)+c∈[－+c，+c]．故选C． 2、给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a2+b2c2，则a2+b2－c20(2)设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c20，则a2+b2c2那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确 a2+b2c2，a2+b2与c2都是实数，故此时a2+b2－c20a2+b2－c2