2001年全国高中数学联赛题讲解待2001年全国高中数学联赛试题讲解待2001年全国高中数学联赛试题讲解待2001年全国高中数学联赛试题讲解待.doc

　一、选择题（本题满分36分，每小题6分）　已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（　　）．　Ａ．1　　Ｂ．2　　Ｃ．4　　Ｄ．不确定　讲解：M表示方程ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ２＞0，所以Ｍ含有2个元素．故集合Ｍ有2２＝4个子集，选Ｃ．　．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．　命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；　命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．　以上三个命题中正确的有（　　）．　Ａ．0个　　Ｂ．1个　　Ｃ．2个　　Ｄ．3个　讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选Ｂ．　．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（　　）．　Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜　　　　　Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜　Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜　　　　　Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜　讲解：可考虑用排除法．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数（可通过作图判断），排除Ａ；ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜的最小正周期为2π，且在（0，π／2）上是减函数，排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在（0，π／2）上是减函数，排除Ｃ．故应选Ｄ．　．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（　　）．　Ａ．ｋ＝8　　　　　Ｂ．0＜ｋ≤12　Ｃ．ｋ≥12　　　　　　 Ｄ．0＜ｋ≤12或ｋ＝8　讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论Ｄ．　说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ．　．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（　　）．　Ａ．3333　　Ｂ．3666　　Ｃ．3999　　Ｄ．32001　讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法．　取ω＝－（1／2）＋（／2）ｉ，则ω３＝1，ω２＋ω＋1＝0．　令ｘ＝1，得　1000＝ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ2000；　　①　令ｘ＝ω，得　＝ａ０＋ａ1ω＋ａ2ω２＋…＋ａ2000ω2000；　　②　令ｘ＝ω２，得　＝ａ０＋ａ１ω２＋ａ２ω４＋ａ３ω６＋…＋ａ2000ω4000．　　③　＋②＋③得　　1000＝3（ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998）．　ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998＝3999，选Ｃ．　．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（　　）．　Ａ．2枝玫瑰价格高　　Ｂ．3枝康乃馨价格高　Ｃ．价格相同　　　　 Ｄ．不确定　讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得 6ｘ＋3ｙ＞24， ① 4ｘ＋5ｙ＜22． ② 　问题转化为在条件①、②的约束下，比较2ｘ与3ｙ的大小．有以下两种解法：　解法1：为了整体地使用条件①、②，令6ｘ＋3ｙ＝ａ，4ｘ＋5ｙ＝ｂ，联立解得ｘ＝（5ａ－3ｂ）／18，ｙ＝（3ｂ－2ａ）／9．　ｘ－3ｙ＝…＝（11ａ－12ｂ）／9．　ａ＞24，ｂ＜22，　ａ－12ｂ＞11×24－12×22＝0．　ｘ＞3ｙ，选Ａ． 图1 　解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2ｘ－3ｙ＝2ｃ，则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝2ｃ在ｘ轴上的截距．显然，当ｌ过点（3，2）时，2ｃ有最小值为0．故2ｘ－3ｙ＞0，即2ｘ＞3у，选Ａ．　说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：　已知函数Ｍ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ２－ｃ满足：－4≤ｆ（1）≤－1，－1≤ｆ（2）≤5，那么ｆ（3）应满足（　　）．　Ａ．－7≤ｆ（3）≤26　　Ｂ．－4≤ｆ（3）≤15　Ｃ．－1≤ｆ（3）≤20　　Ｄ．－28／3≤ｆ（3）≤35／3　（2）如果由条件①、②先分别求出ｘ、ｙ的范围，再由2ｘ－ｙ的范围得结论，容易出错．上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文［1］．　二、填空题（本题满分54分，每小题9分）　．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．　讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率ｅ和焦参数ｐ（焦点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以