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2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题 　一、选择题（每小题分,共分） 、若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）. 、 ；、；、；、． 、设，，若直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（　　）. 、； 、； 、； 、. 、四面体的六条棱长分别为，且知，则 . 　、　； 、　； 、　；　 、． 、若对所有实数，均有，则（ ）. 、；　　　、；　　、；　　、． 、设，是的小数部分，则当时，的值（ ）． 　、必为无理数；、必为偶数；、必为奇数；、可为无理数或有理数． 、设为正整数，且与皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.必为合数；（乙）.必为两个平方数的和. 你的判断是（ ） A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题分，共分） 、过点作直线，使得它被椭圆所截出的弦的中点恰为，则直线的方程为 . 、设，则函数的最小值为 . 、四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，，则 ． 、 . 、数列满足：，且对每个，是方程的两根，则 . 、从前个正整数构成的集中取出一个元子集，使得中任两数之和不能被这两数之差整除，则的最大值为 ． 三、解答题： 、（分）是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点； 证明：分别是的内心与旁心． 、（分）设为非负实数，满足，证明： ． 、（分）对于元集合，若元集， 满足：，且，则称是集的一个“等和划分”（与算是同一个划分）． 试确定集共有多少个“等和划分”． 2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 　一、选择题（每小题分,共分） 、若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）. 、 ；、；、；、． 答案：． 解：欲使的值域为，当使真数可取到一切正数，故或者；或者且，解得 、设，，若直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（　　）. 、； 、； 、； 、. 答：． 解：将代入椭圆方程并整理得，， 因直线和椭圆有公共点，则判别式，利用 ，化简得，所以．即． 、四面体的六条棱长分别为，且知，则 . 　、　； 、　； 、　；　 、． 答案：. 解：四面体中，除外，其余的棱皆与相邻接，若长的棱与相邻，不妨设，据构成三角形条件，可知，， ，于是中，两边之和小于第三边，矛盾。 因此只有.另一方面，使的四面体可作出，例如取.故选 、若对所有实数，均有，则（ ）. 、；　　　、；　　、；　　、． 答： . 解：记 ，则由条件，恒为，取，得，则为奇数，设，上式成为，因此为偶数，令，则，故选择支中只有满足题意． 、设，是的小数部分，则当时，的值（ ）． 　、必为无理数；、必为偶数；、必为奇数；、可为无理数或有理数． 答：． 解：令，则，是方程的两根， 则，所以当时，，令，则当时，，故所有为偶数， ，， 因，所以为的小数部分，即， 奇数． 、设为正整数，且与皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.必为合数；（乙）.必为两个平方数的和. 你的判断是（ ） A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对. 答案: 解：设，为正整数；则 …， 由此知，为正整数，且，因为若，则 ，即，则，记 ，得不为平方数，矛盾！所以，故由得， 为合数；又因为 ，故选.（例如是上述之一）. 二、填空题（每小题分，共分） 、过点作直线，使得它被椭圆所截出的弦的中点恰为，则直线的方程为 . 答案：． 解：设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得， ，设其两根为，则， 即，所以直线的方程为，即 、设，则函数的最小值为 . 答案：. 解：如图，取为数轴原点，，再作垂线，使 ，在数轴上取点，使 ，则，当共线时，值最小，此时. 、四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，，则 ． 答案：． 解：设面交于，则因，故在上，且， ，于是，，，在三角形中，由余弦定理得 、 . 答案：． 解： ， 所以． 、数列满足：，且对每个，是方程的两根，则 . 答：． 解：对每个， ……， ……， 将写作，因此是一个公比为的等比数列，故 ，即， ；于是；． 、从前个正整数构成的集中取出一个元子集，使得中任两数之和不能被这两数之差整除，则的最大值为 ． 答案：. 解：首先，我们可以取元集，中任两数之和不能被整除，而其差是的倍数；其次，将中的数自小到大按每