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2008年全国高中数学联赛一试 一、选择题（每小题6分） 1．函数在上的最小值 （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 2．设，若则的取值范围为（ ） （A） （B） （C） （D） 3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 （） （A） 　 　 　 　 4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）764 cm3或586 cm3 （B） 764 cm3 　 （C）586 cm3或564 cm3 （D） 586 cm3 5．方程组的有理数解的数为 （） （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 6．设的内角所对的边成等比数列则的取值范围（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题（每小题9分） 7．，其中为实数，，，，若，则 　 . 8．设的最小值为则 　 .．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　 　　种10．设数列的前项和满足：，则= 　 11．设是定义在上的函数，若 ，且对任意满足 ，，则= 　 .．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是　 . 三、解答题（每小题20分） 13．的图像与直线 有且仅有三个交点，交点横坐标的最大值为，求证： ．14．． 15．如图，是抛物线上的动点，点在上，圆内切于，求面积的最小值． 当时，，因此，当且仅当时取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2因有两个实根 ，故等价于且，即且，解之得．依题意知，的所有可能值为24、6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有， ，，故． 方法二： 依题意知，的所有可能值为24、6.令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜由独立性与互不相容性得 ， ， ， ． 4. 设这三个正方体的棱长分别为，则有，。不妨设，，．故，只能取9、8、7、6 ． 若，则，知，． 若， 则，，即，从而或5．若，则无解；若，则无解．因此c=8时无解． 若，则，．若，则，即。故，但，所以，此时无解． 综上，共有两组解或，体积为（cm3）或（cm3）。故选A。 5. 若，则解得或 若，则由得． ① 由得． ② 将②代入得． ③ 由①得，代入③化简得.无有理数根，故由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或设的公比为，则，而 ． 因此，只需求的取值范围．成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必须且只需且．即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围．由题意知，由得，，因此，，． ， (1) 时，当时取最小值； (2) 时，当时取最小值1； (3) 时，当时取最小值又或时的不能为， 故，解得，(舍去)用4条棍子间的空隙3个学校，而用表示名额．如 表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种设分配给3个学校的名额数分别为，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少