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2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题 第一试（80分钟） 一、填空题（本题满分56分，每小题8分） 1.已知数列的前项和，则 ________． 2.若集合为空集，则实数的取值范围是________． 3. 设、为实数，，则二元函数的最小值是________ 4.设、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆交双曲线左支于、两点，且. 双曲线的离心率的值介于整数与之间，则________． 5.已知长方体的体积为，则四面体与四面体的重叠部分的体积等于________． 6.设表示不大于的最大整数，则 ________． 7.设方程的根都是正数，且，则的最大值是________． 8. 的方格棋盘的一条对角线穿过________个棋盘格． 二、 解答题（本题满分14分） 求函数的值域． 三、解答题（本题满分15分） 如图，抛物线及点，过点的不重合的直线、与此抛物线分别交于点， ，，．证明：，，，四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补． 四、解答题（本题满分15分） 设，是正数，且，，求证：． 第二试（150分钟） 一、（本题满分50分） 如图，在△中，∥，△的内切圆与切于点，△的边上的旁切圆切于点，点是与的交点，求证、、三点共线. 二、（本题满分50分） 设，为给定的整数，. 对任意元的数集，作的所有元子集的元素和，记这些和组成的集合为，集合中元素个数是，求的最大值. 三、（本题满分50分） 设，是互不相同的正整数，求证： . 四、（本题满分50分） 求满足下列条件的所有正整数，：（1）与互素； （2）. 2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 第一试 一、填空题（本题满分56分，每小题8分） 1.2. 3.4.5.6.7.8. 解答题（本题满分14分） 解 因为. ………………8分 令，则，. 易知函数 在区间与上都是减函数，所以的值域为，故的值域 为. ………………14分 三、解答题（本题满分15分） 解 设、的倾斜角分别为、，由题设知 、. 易知直线的参数方程为 ， 代入抛物线方程可化得 . 设上述方程的两根为、，则 . 由参数的几何意义，得 . …………………5分 同理 . …………………7分 若、、、四点共圆，则 ，即 . 因为、，所以 . 又由、不重合，则. 所以. …………………11分 反过来，若，则因、，故，且，. 所以 ，即. 故、、、四点共圆. …………………15分 四、解答题（本题满分15分） 解 因为 ， 且 （）， 所以 ，即. …………………10分 同理可证 . 于是，. …………………15分 2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 加 试 一、（本题满分50分） 证 设与交于点. 因为∥，所以，. 故只需证明 ，或. ………………10分 如图, 设、分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心， 、、、为切点，则 ， ， ， . ………………30分 又 ∽， 故可设 ， 则 故结论成立． ………………50分 二、（本题满分50分） 解 的最大值为. …………………10分 因共有个元子集，故显然有. …………………20分 下面我们指出，对集合，相应的等于，即的任意两个不同的 元子集的元素之和不相等. 从而的最大值为. 事实上，若上述的集合有两个不同的元子集 ， ， 使得与的元素之和相等，则 （设）. ① 因①可视为正整数的二进制表示，由于互不相同，互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一性，我们由①推出，集合必须与相同，从而子集，矛盾. 这就证明了我们的断言. …………………50分 三、（本题满分50分） 证 对s归纳. （1） 当时，结论显然成立. …………………10分 （2） 假设时结论成立，当时，不妨设. 由归纳假设可知，，则 . 所以只要证明： ， 此即 . ………………