2009年全国高中数学联赛西赛区预赛试题及参考答案(word版本)2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案(word版本)2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案(word版本)2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案(word版本).doc

2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 一、填空题（每小题6份，共60分，本题共10小题，要求直接将答案写在横线上） 1.已知集合，，则= ； 2．图1是一个算法流程图，若输入则最终输出的数据是 ； 3．设圆的一条切线与轴、轴分别交于点、，则的最小值为 ； 4．已知函数，若关于的方程 有两个不同的实根，则实数的取值范围是 用区间形式表示） 5．设是定义在R上的奇函数，，当时，是增函数，且对任意的，都有，则函数在敬意[-3,-2]上的最大值是 6．对于若是3的整数倍，则被6除所得余数构成的集合是 。 7．如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两个动点，且CD∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD周长的最大值是 8．如图3，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为 △ABC的外心，则的值是 9．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R= 10．把长为的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为 2009年陕西赛区 1.已知集合，，则= ； 图1是一个算法流程图，若输入则最终输出的数据是 ； 3．设圆的一条切线与轴、轴分别交于点、，则的最小值为 ； 4．已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 用区间形式表示） 5．设是定义在R上的奇函数，，当时，是增函数，且对任意的，都有，则函数在敬意[-3,-2]上的最大值是 6．对于若是3的整数倍，则被6除所得余数构成的集合是 。 7．如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两个动点，且CD∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD周长的最大值是 8．如图3，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为 △ABC的外心，则的值是 9．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R= 10．把长为的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为 二、解答题（每小题20分，共60分） 11．设若对任意的，等式 +恒成立，试求、的值。 12．如图4,已知两点、，的内切圆的圆心在直线上移动。 (1).求点的轨迹方程； (2).过点作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于、两点，且=0，求证：直线必过定点。 13．已知函数，数列{}、{}满足，，，， (1).求的取值范围，使得对任意的正整数都有 (2).若求证：， 第二试 一、数列满足，记 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和 二、如图，PA、PB为圆O的两条切线，切点分别为A、B，过点P的直线交圆O于C、D两点，交弦AB于点Q， 求证： 三、设. (1).若,求证：是完全平方数； (2)证明：存在无穷多个正整数对(p,q),使得. 2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛） 一、单项选择题 1、设集合，，则=（ ） A、 B、 C、 D 、 2、正方体中与截面所成的角是（ ） A、 B、 C、 D、 3、已知，， 则“”是“在上恒成立”的（ ） A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为， 设,，则=（ ） A 、 B 、 C、 D 、2 5、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（ ） A 、 B 、 C、 D 、 6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ） A、 B、 C、 D、 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、如图，正方形的边长为3，为的 中点，