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2010年全国高中数学联赛黑龙江省预赛 一、选择题(每小题5分，共60分) 1.集合则( ). A． B. C. D. 2. 已知复数为实数，则实数m的值为（ ）. A． B． C．— D．— 3. 与圆相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有( ). A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 4. 已知恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 5. 当满足条件时,变量的取值范围是( ). A. B. C. D. 6. 如图是一个程序框图，则输出结果为( ). A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( ). A.　　 B.　　 C.　　 D. 8．设是连续的偶函数,且当时是严格单调函数,则满足的所有之和为( ). A. B.-8 C. 3 D. 9. 若把函数的图象向右平移（＞0）个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）. A． B． C． D． 10. 将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是( ) . 高☆考♂资♀源€网 A． B． C． D． 11.空间中一点到三条两两垂直的射线的距离分别为,且垂足分别为,则三棱锥的体积为( ). A. B. C . D. 12. 已知集合,定义函数且点 , 若的内切圆圆心为D,且,则满足条件的函数有( ). A . 12 个 B. 10个 C . 6个 D. 16个 二、填空题(每小题5分，共20分) 13. 若二项式的展开式中的常数项为-160，则= 14．设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 15. 已知双曲线的右焦点为,过做双曲线的一条渐近线的垂线与双曲线交于,垂足为,若,且,则 16. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切，若该球的体积为，则该三棱柱的体积是_______________________ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17. (10分) 设的内角所对的边分别为,且 (1)求角的大小. (2)若,求内切圆半径R的最大值. 18. (12分) 为了调查全市学生的数学高考成绩,随机地抽取某中学甲，乙两班各10名同学,获得成绩数据如下, 甲:132,108,112,121,113,121,118,128,118,129 乙:133,107,120,113,122,114,128,118,129,127 (单位:分) (1)画出甲，乙两班学生数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图判断哪个班的平均水平较高. (2)若数学成绩不低于120分则称为“优秀”,求从这20名学生中随机选取3人,至多有1人是“优秀”的概率. (3)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩,若从该校(人数很多)任选3人,记表示抽到“优秀”学生的人数,求的分布列及数学期望. 19. (12分) 已知数列的首项,前项和为, 且 (1)求数列的通项公式. (2)设函数,是函数的导函数,令,求数列的通项公式, 并研究其单调性. 20. (12分) 如图，Δ内接于⊙O，，直线切⊙O于点，弦，与相交于点. (1)求证：； ．x=-1上的两个动点E、F，满足，动点P满足（其中O为坐标原点）. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点B（0，2）的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若，求直线l的斜率的取值范围. 22. (12分) 已知函数 试判断函数的单调性； 设，求在上的最大值； （3）试证明：对，不等式 解 答 1. B 提示: 表示两个抛物线的交点构成的集合,两个方程联立可解. 2. D 提示:则. 3.