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2010年全国高中数学联赛 一、填空题（每小题8分，共64分，） 函数的值域是 . 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 . 4.函数 在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则 . 方程满足的正整数解（x,y,z）的个数是 . [来源:Z+xx+k.Com] 二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数，当时，，试求的最大值. 10.（20分）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值. 11.（20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得 . 加 试 2. （40分）设k是给定的正整数，．记，．证明：存在正整数m，使得为一个整数．这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，． 3. （50分）给定整数，设正实数满足，记 ． 求证： ． [来源:学§科§网] 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ 一试解答 1.【答案】 【解析】易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为. 3. 【答案】 9800 【解析】提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为 . 又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为. 4. 【答案】 【解析】提示 ：设的公差为的公比为，则 （1） ， （2） （1）代入（2）得，求得. 从而有 对一切正整数都成立，即 对一切正整数都成立. 从而 ，求得 ，. 6.【答案】 【解析】提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为 . 【答案】 【解析】提示：解法一：如图，以所在直线为轴， 线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，. 设分别与平面、平面垂直的向量是、，则 在直角中，,即 . 又 . . 【答案】336675 【解析】提示：首先易知的正整数解的个数为 .[来源:学科网ZXXK] 9.【解析】 解法一： 由 得 . 设 ，则. . 容易知道当时，. 从而当时， ， 即 ， 从而 ,，由 知. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 由（1）知直线的方程为，即 . （2） （2）代入得，即 . （3） 依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以 , . . 定点到线段的距离 . . 解法二：同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. [来源:Zxxk.Com] 设，则的绝对值, , 所以, 当且仅当且，即 ,或 时等号成立. 所以，面积的最大值是. 二试解答 1. 【解析】 用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P