四、模糊集合的模糊程度——模糊熵.ppt

熵是一个一般性的概念，它度量了一个系统或一段信息的不确定性。 模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度。 一般的定义[1]： （1）分明集是不模糊的，则分明集的模糊熵为0； （2）[1/2]是隶属性最难确认的模糊集，[1/2]的模糊性应最大 （3）模糊集A与 距[1/2]的1远近程度是相同的，则要求A与 的模糊程度一样 （4）模糊集A的模糊性应具有单调变化的性质，即A越接近[1/2],A的模糊性越大； A越远离[1/2],A的模糊性越小 。 1.模糊子集的几何表示 B的所有模糊子集构成集合——模糊幂集F(2B)，它构成了在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形，其边宽等于各隶属度值mB(xi) 。可以用Lebesgue测度或体积V(B)来度量F(2B)的大小，其中，体积V(B)为隶属度值的乘积： (2)几何方法： 在图7.7中， 集合A或是位于F(2B)内, 或是在外头。直觉上，当A接近F(2B)时, S(A,B)应接近于1，当A远离F(2B)时, S(A,B)应该减小。 那么A与F(2B)之间的距离如何计算？ 参考文献 [1]范九伦，《模糊熵理论》西北大学出版社 * * 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵 A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式： 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵 模糊熵定理： 模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。（ ） 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵 k0是常数 很多文章是用这个定义来求模糊熵 另外的一种定义（类似于信息论中熵的定义） 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship)： 如果A=(.3 0 .7)和B=(.4 .7 .9)，那么A就是B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。显然，这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的,是二值定义下的子集性(Zadeh’s1965)。 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 图7.7 2.包含度定理： 在图7.7中，点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长方形F(2B)外不同的点A是B的不同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属于F(2B)的不同程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度： S(.,.)在[0,1]之间取值，其代表了多值的子集测度（包含度），是模糊理论中的基本的、标准的结构。 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 度量S(.,.)的两种方法： (1)代数方法: 即失配法(fit-violation strategy) 假定X包含有100个元素：X={x1,…,x100}。而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系，使得mA(x1)mB(x1)。直观上，我们认为A很大程度上是B的子集。可以估算，子集性为S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆个元素，A几乎完全是B的子集了。可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1)越大，失配的数目相对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者说，A就越象是B的超集。直观上有： 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 失配数的计算： ?max(0,mA(x)-mB(x))归一化之后得到超集的最小度量： 包含度为： 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 这种包含度满足主导隶属度函数关系，当 时，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，则分子被加数应都为0，因此主导隶属度函数关系都满足。反之，当且仅当B是空集时， S(A,B)=0。而空集本来就无法包含集合，无论是模糊集还是非模糊集。在这两种极端情况之间，包含度的大小为： 0 S ( A, B ) 1 考虑匹配矢量A = (.2 0 .4 .5)和B = (.7 .6 .3 .7)。A几乎是B的子集，但不完全是，因为 所以， 类似可得： 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 图7.7 寻找B*(A位于F(2B)外): 通过F(2B)边线的直线延伸，将超