2011年全国高中数学联合赛湖北省预赛(高二)试题参考答案2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题参考答案2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题参考答案2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题参考答案.doc

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛 （高二年级） 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1．已知P是△ABC所在平面上一点，满足，则△ABP与△ABC的面积之比为 ． 2．已知数列满足：，则 . 3．已知，如果集合，则所有符合要求的角构成的集合为 ． 4．满足方程（）的实数对的个数为 ． 5．设是模为2的复数，则的最大值与最小值的和为 ． 6．对一切满足的实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 7．设集合.如果方程（）至少有一个根，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 ． 8．已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 ． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数. （1）求的解析式； （2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由. 10．已知数列满足.证明：对一切，有 （1）； （2）． 11．已知椭圆C：，过点P而不过点Q的动直线交椭圆C于A、B两点. （1）求∠AQB； （2）记△QAB的面积为，证明：． 1 2 4022 3 4 8 5 4 6 7 23 8 9.解 （1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故. ------------------------------------------4分 又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故. 因此，的解析式为. ------------------------------------------8分 （2）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，从而，即. ------------------------------------------12分 注意到43是质数，且，， 所以有解得 因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分 10.解（1）显然，，所以（）. 所以，对一切，，所以. --------------------5分 所以，当时， ，所以. 又，故对一切，有.因此，对一切，有. -------------10分 （2）显然.由，知，所以，所以 ，所以， ------------------------------------------15分 所以，当且时， ， 所以. ------------------------------------------20分 11. 解（1）如果直线的斜率存在，设它的方程为，因为点P在直线上，所以，故. 联立直线和椭圆C的方程，消去，得. 设A，B，则，， ， ------------------------------------------6分 因为，，所以 ＝0， 所以，显然A、Q、B三点互不相同，所以∠AQB＝90°. 如果直线的斜率不存在，则A、B两点的坐标为，容易验证∠AQB＝90°也成立. 因此，∠AQB＝90°. ------------------------------------------12分 （2）由（1）知∠AQB＝90°，所以△QAB是直角三角形. 如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得△QAB的面积为. 如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为，代入椭圆C的方程，消去，得，则 . 又QB⊥QA，所以，同理可求得 . --------------------------16分 于是，△QAB的面积为 .