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函数性质的综合应用 两年真题 2011新课标全国理，12函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A．2 B．4 C．6 　 D．8 2010新课标全国理，112010新课标全国文，12 已知函数若互不相等，且则的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 解析命题意图：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.作出函数的图象如右图， 不妨设，则 则.应选C. 考纲解读 1．函数与方程 ①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系． ②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法． 2．函数模型及其应用 ①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． ②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用． ③若为偶函数，则. ④若奇函数定义域中含有0，则必有. 2. 函数的单调性 1.函数单调性的定义： （1）如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内是减函数. （2）设函数在某区间内可导，若，则在D内是增函数；若，则在D内是减函数. 单调性的定义（1）的等价形式： 设，那么在上是增函数； 在上是减函数； 证明或判断函数单调性的方法： (1)定义法：设元作差变形判断符号给出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和等形式，再结合变量的范围，假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断； ①满足条件的函数的图象关于直线对称. ②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为； (由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点； ⑧的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到. 5. 常见的图象变换 特殊函数图象: (1)函数:可由反比例函数图象平移、伸缩得到.图1示例. （3）函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． 一般地，对于不能使用公式求根的方程f(x)＝0，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，利用函数的图象、性质来求解． 方法技巧提炼 1.研究函数的性质要特别注意定义域优先原则 2. 函数的单调性 （1）定义法和导数法的选择 . 例2． 已知函数f（x）＝，．当a＝时，求函数f（x）的最小值. 解析由，可知函数关于对称，同理由得到另外一条对称轴，由结论①可知. 点评此例利用函数的对称轴的相关结论，得到函数的周期，体现了利用结论解题的重要性. (3)若已知类似函数周期定义式的恒等式，如何确定函数的周期？由周期函数的定义，采用迭代法可得结论： ①函数满足，则是周期为2的函数； ②若恒成立，则； ③若，则； ④，则. 点评此题通过去掉绝对值得到分段函数，利用图象进行判断.分类的标准对绝对值里面整体的正负讨论.此题亦可利用基础函数变换得到：首先翻折变换得到的图象，然后平移变换得到. 7.函数图象的主要应用 函数图象的主要应用非常广泛，常见的几个应用总结如下： （1）利用函数图象可判断函数的奇偶性，求函数的单调区间、对称轴、周期等函数的性质； 解析：由知是周期为2的偶函数，故当时，，由周期为2可以画出图象，结合的图象可知，方程在上有三个根，要注意在内无解． 点评此例利用函数的性质画出函数的草图，通过数性结合思想，判断方程根的个数，即寻找两个函数图象的交点个数. 8.函数零点的求解与判断 判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易考场经验分享 (1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零． (2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． (3)一般我们只讨论函数的实数零点． (4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根． 5.本热点常常命制成压轴的选择题，故难度较大，需要较强的解题能力和知识综合应用能力.涉及的数学思想丰富多样，故基础性的学生不易花费过多的时间，能力不够可适当放弃.另外，如果以抽象函数为背景，可采用抽象问题具体化得思路进行求解.如果涉及到范围问题的确定，可选择特指进行代入验证的方法求解. 题演练 [答案]B (文)已知，则集