2012江苏省数学竞赛《提教程》教案：第09讲 函数性质的应用(最终)2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第09讲 函数性质的应用(最终)2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第09讲 函数性质的应用(最终)2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第09讲 函数性质的应用(最终).doc

第9讲 函数性质的应用 本节主要内容是综合运用函数的性质及其图象解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题。 A类例题 例1 已知f(x)=asinx+b+4(a，b)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ） A．(5 B．(3 C．3 D．随a，b1993年全国高中数学联合竞赛) 解 设lglog310=m，则lglg3=－lglog310=－m， 则f(m)=asinm+b+4=5，即asinm+b=1． 所以f(－m)=－(asinm+b)+4=－1+4=3．选C． 例2 设对任意整数x，f(x)=f(x-1)+f(x+1)，f(0)=19，f(4)=93，f(59)= 。 （1993年江苏省高中数学竞赛） 分析 通过对f(x)=f(x-1)+f(x+1)的变换，寻求函数f(x)的变化规律。 解 由f(x+1)= f(x)－f(x－1)，得 f(x+3)= f(x+2)－f(x+1)= f(x+1)－f(x)－f(x+1)=－f(x)， 于是f(x+6)=－f(x+3)= f(x)。 所以f(59)= f(9×6+5)= f(5)=－f(2)。 由于f(1)=－f(4)=－93， 故f(2)= f(1)－f(0)=－112， 所以f(59)=112。 例3 求函数的最大值和最小值。 （1996年美国中学数学竞赛题） 分析 考察函数的定义域和单调性。 解 先求函数定义域。由得。 因为。 当，且x增加时，增大，而减小，于是f(x)是随着x得增加而减小，即f(x)在区间[6，8]上是减函数，所以f(x)的最小值为f(8)=0，f(x)的最大值为f(6)=。 说明 利用函数得单调性求函数的最值（或值域）是一种常用的方法。一般地，若函数在闭区间[a，b]上为单调函数，则在端点处取得最值。 情景再现 1．已知f(x)＝ax5＋bsin5x＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝( )3 B．－3C．5 D．－5y=φ(x)，x+y=0对称，那么，第三个函数是 A．y= -φ(x) 　　　　　B．y= -φ(-x) C．y= -φ-1(x) 　　　 　D．y= -φ-1(-x) （1988年全国高中数学联赛） 3．函数对所有整数和，都有和，则等于（ ） A．26 B．27 C．52 D．53 4．如图，已知函数y＝2x2在[a，b] (ab)上的值域为[0，2]，则点(a，b)的轨迹为图中的A．线段AB、BC B．线段AB、OC C．线段OA、BC D．线段OA、OC （2003年江苏省数学夏令营试题） B设f（x）是定义在区间（－∞，＋∞）上以为周期的函数，对k∈，用I表示区间（2k－1，2k＋1］，已知当x∈I时，f（x）＝x． （1）求f（x）在I上的解析表达式； （2）对自然数k，求集合M＝｛a│使方程f（x）＝ax在I在上有两个不相等的实根｝．（1989年全国高考）方程f（x）＝ax在I在上有两个不相等的实根函数g（x）＝ax 、f（x）＝（x－2k）的图象在区间（2k－1，2k＋1］（k∈N）上有两个不同的公共点解（1）设x∈I＝（2k－1，2k＋1］，则x－2k∈（－1，1］＝ I． 由已知，当x∈I时，f（x）＝x，所以f（x－2k）＝（x－2k）． 又由已知，f（x）是周期为2的周期函数，所以，f（x－2k）＝f（x）， 即当x∈I时，f（x）＝（x－2k）． （2）题意即求关于x的方程（x－2k）＝ ax在区间I＝ （2k－1，2k＋1］（k∈N）上有解时，实数a的取值范围．（x－2k）＝ ax。 由得或。 得， 得， 得， 由于k∈N， 所以a∈（0，]集合M＝（0，]．设g（x）＝ax（含参数，形式简单）．问题转化为在同一个坐标系中，两函数g（x）＝ax 、f（x）＝（x－2k）的图象在区间（2k－1，2k＋1］（k∈N）上有两个不同的公共点时a的取值范围．如图，不难得到a∈（0，]．所以集合M＝（0，]． 例5解方程 (x＋8)200＋x200＋2x＋8＝0。 解原方程化为(x＋8)200＋(x＋8)＋x200＋x＝0 即(x＋8)200＋(x＋8)＝(－x)200＋(－x)构造函数f(x)＝x200＋x原方程等价于f(x＋8)＝f(－x)而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数于是有x＋8＝－xx＝－4为原方程的解， 即， 即， 构造函数。 于是原方程等价于＝＋＝＋＝的形式，进而利用函数的性质（单调性、奇偶性等）加以解决。 例6 设关于x的一元二次方程2x2－tx－2＝0的两个根为(、(，(t为实数，(()． ⑴ 若x