2012江苏省数学竞赛《提教程》教案：第58讲 二项式定理2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第58讲 二项式定理2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第58讲 二项式定理2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第58讲 二项式定理.doc

第 讲 二项式定理 本二项式定理 设n∈N，则(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can-rbr＋…＋Cbn ① ①式右边称为二项式(a＋b)n的展开式，第r＋1项 Tr+1＝Can-rbr称为二项式展开式的通项公式，C叫做第r＋1项的二项式系数。 特别地，(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxr＋…＋Cxn。 为方便起见，我们引入记号“∑”，a1＋a2＋…＋an可记为，于是①式可以写成(a＋b)n＝。 二项式系数之间有如下性质： ①＝2n； ②C＝C，0≤r≤n； ③C＋C＝C ④当n为偶数时，CC…C， C C…C； 当n为奇数时，CC…C＝C C… C。 对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且要学会逆向运用和变式使用，有时先作适当变形后再展开；有时需适当配凑后逆用二项式定理。 二项式定理及其展开式系数的性质是解决许多数学问题的重要工具，如：整除或求余数（余式）问题，组合数的求和式组合恒等式的证明问题，近似计算问题等等。对于利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；对于处理整除性问题，往往构造对偶式或利用与递推式的结合。 A类例题 例1 若(3x＋1)n（n∈N+）的展开式中各项系数和是256，则展开式中x2的系数是_________。（上海高考题） 分析 分清系数和二项式系数两个概念，系数之和常令x＝1，二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝2n． 解 设(3x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2xn，令x＝1，得4n＝a0＋a1＋…＋an，即各项系数之和为4n，由题得4n＝256，得n＝4。 故(3x＋1)4的展开式中含x2改为C(3x)2＝54x2。 故所求展开式中x2系数为54． 说明：求二项式所有系数和的方法，常令其字母为1。若求所有奇数项系数和，可先令字母为1，求出所有系数和a0＋a1＋a2＋…＋an，再令字母为－1，求出a0－a1＋a2－a3＋…＋an，再令字母为－1，求出a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，原式相加除以2。即得an有奇数项系数和a0＋a2＋a4＋…。 同理，两式相减除以2，可求出展开式所有偶数项系数和a1＋a3＋a5＋…。 注意，二项式系数与展开式某一项系数是不同概念，第r＋1项的二项式系数是C。 例2 在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为（ ） A．160 B．240 C．360 D．8004 分析 二项式定理实质上是(a＋b)2，(a＋b)3，展开公式的推广，是两个字母a和b的和或差的n次方的展开公式，因此只能处理两个字母或两个量之间的关系，遇到大于二个量的和式或差式时，常进行因式分解分成两个量和与两个量和（或差）的积的形式，再利用定理． 解 (x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5·(x＋2)5 ，在(x＋1)5的展开式中x项的系数为C＝5，常数项为1，在(x＋2)5的展开式中x项的系数为24 C＝80，常数项为32，所以x项的系数为5×32＋80×1＝240。 说明：本题也可以另解。方法二：(x2＋3x＋2)5＝(x2＋3x＋2)(x2＋3x＋2)…(x2＋3x＋2)，根据多项式相类法则知，x的系数是：从5个括号中任取一个3x项，其他括号中都取项2相乘得的系数，故所求系数为C×3×24＝240。方法三：(x2＋3x＋2)5＝[x2＋(3x＋2)]5，把3x＋2看成一个整体，运用二项式定理展开后，x项只在(3x＋2)5中出现，故x项的系数为C×3×24＝240。 情景再现 1．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x2的系数是 A．－297 B．－252 C．297 D．207 2．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为 A．1 B．－1 C．0 D．2 3．求(|x|＋－2)2展开式中的常数项。 B类例题 例3 已知i，m，n是正整数，且1 i ≤mn，证明： ①niAmiA； ②(1＋m)n (1＋n)m。（2001年全国高考题） 分析 本题以排列组合为依托，重点考查了式子的变形和计算能力。 证明 ①即证。 ∵＝＝（k＝1，2，…，i－1）， ∴1－1－， 即（k＝1，2，…，i－1）， ∴成立； ②∵(1＋m)n＝C＋mC＋m2C＋…＋mnC (1＋n)m＝C＋nC＋m2C＋…＋nmC 由①知niA miA（1i≤mn），且A＝Ci!，A＝Ci!， ∴nCmiC（1i≤mn） ∴n2C＋n3C＋…＋nmC m2C＋m3C＋…＋mmC 又∵当mi≤n时，miC0， ∴C＋nC＋n2C＋…＋nmCC＋mC＋m2C＋…＋mnC。 即