2012江苏省数学竞赛《提教程》教案：第21讲_三角函数的定义2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第21讲_三角函数的定义2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第21讲_三角函数的定义2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第21讲_三角函数的定义.doc

第1讲 三角函数的定义、图像与性质 本专题涉及到任意角的三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式；三角函数的图像及其变换和三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等性质，三角函数的定义是三角函数系列知识的源头． A类例题 例１ 角的终边分别是和，过点，且，和关于直线对称，则角的集合是( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． (2001年第12届“希望杯”全国数学邀请赛) 分析 根据角的终边所在的象限确定选项． 解 由知位于第二象限，从而点关于直线的对称点在第四象限，即角是第四象限角．故选()． 例2 若是周期为的奇函数，则可以是( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． (1999年全国高考卷) 分析 采用分析验证和用定义求解的方法． 解法一(分析验证) 因为是奇函数且不恒为零，所以必须是偶函数，由此排除项，进而验证知选项满足题意．故选()． 解法二(定义求解) 依题意函数满足 ，由的任意性得 ， 所以，即函数是周期为的偶函数，只能选 说明 作为选择题解法一直接简明，而解法二揭示了问题的本质，在此基础上可以构造出无数个满足题意的． 例３ 示波器荧屏上有一正弦波，一个最高点在，与相邻的最低点，则这个正弦波对应的函数是 ．(2003年第14届“希望杯”全国数学邀请赛) 分析　设出其解析式，利用正弦函数图像的性质求解． 解 设，由正弦函数图像的性质可得振幅，周期，频率，，将坐标代入，得初相，故所求表达式为 ． 说明 在本题中函数的表达式不唯一． 情景再现 1．方程在区间上解的个数是( ) ２． 当，求函数的最大值和最小值． ３．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________． B类例题 例４　方程的实根有多少个? 分析 仅仅判断根的个数，基本方法是利用函数的图像数形结合求解． 解 原方程实根的个数即为两个函数和图像的交点的个数． 由于，所以只需考虑． (1)当时，由于函数的最小正周期是，所以在其范围内函数的图像出现两次，在轴下方有四个交点; (2)当时，其范围的长度是周期的倍，由于时所以有个交点; (3) 时两个函数也有一个交点． 综上所述原方程共有个实根． 说明 利用函数的图像来确定某些特殊的非常规方程的实根个数是一条十分重要的途径．在“数形结合”时，特别强调“以数定形”，如方程的解只有一个（当时，）． 例５　在平面直角坐标系中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是 ．(2004年全国高中数学联赛) 分析 利用正弦函数图像的对称性补形转化求解． 解　，它的最小正周期为，振幅为．由的图像与的图像围成的封闭形的对称性，可将该图形割补成长为，宽为的长方形，故它的面积为． 例６ 若，则的最大值是　　 ．(2003年全国数学联赛) 分析 化弦后利用单调性求解． 解 ，由于函数的每一部分在给定区间上都是增函数，所以当时取最大值为． 例７ 已知函数是R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间是单调函数，求和的值． 分析 运用三角函数对称的特征求解，也可用偶函数和关于点对称的定义求解． 解法一　 由偶函数关于轴对称，知当时函数取最大值或最小值，所以又所以;另一方面函数的图像关于点对称，此点是函数图像与轴的一个交点，所以当，，即，，． 当时，在上是减函数; 当时，在上是减函数; 当时，在上不是减函数． 综上所述或． 解法二　由是偶函数，得 即，所以对任意都成立，只能是，又，所以． 由的图像关于点对称，得，令得，以下同解法一． 例８．已知R，且 ，则 ． 分析 构造函数用单调性求解，或利用函数的奇偶性和函数图像特征求解． 解法一 由已知得， 现构造函数，由此得，而函数在上是增函数，所以有，即． 解法二 记，，于是，又分别是R上的增函数，所以它们的图像与轴只有一个交点，而 ， 即， 所以函数与的图像关于原点对称，那么它们的交点也关于原点对称． 记的根分别是，则， 所以． 情景再现 ４．函数的最小正周期是 ． ５．已知R，则函数 的最大值与最小值的和是 ． ６．若函数在区间上至少出现次最大值，则的最小值是 ． C类例题 例９． 两个周期函数的最小正周期分别为，且，其中．如果函数的最小正周期为，那么下列种情形：①，　②，　③，　④，　　⑤．可能出现的情形是　　　　　　　　．（填写序号） 分析 周期是三角函数的重要性质，构造三角函数回答． 解　由题意知是的周期，所以，情形④不可能出现；由知如果，那么也是的最小正周期，矛盾，所以情形②不可能出现；其它三种情形都有可