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拔开迷雾见青天 — 一道有关角平分线问题的解法分析及应用 浙江省绍兴县钱清镇中学：余旭红 在浙教版八年级上的《三角形的初步认识》这一章节中，一道有关角平分线的问题令笔者回味无穷，问题的多种解法可以让同学们发散思维，形成不同的数学认知；问题的简单解法可以让同学们优化思维，充分体会“从特殊到一般”的数学之美；问题结论的适时应用可以让同学们充分品尝数学探究的价值，在数学研究道路上走得更幸福，更坚定! 下面笔者把这道问题呈现如下，以期和同学们共同经历解题历程，共同交流解题心得，共同感受解题成功后的“拔开迷雾见青天”般的自豪之情！ 问题呈现 如图1，在△ABC中，CD，BD分别是∠ACB与∠ABC的平分线，且∠A=ɑ. （1）用含ɑ的代数式表示∠CDB； （2）若把图1中的∠ACB的平分线CD改为∠ACB的外角平分线（如图2），用含ɑ的代数式表示∠CDB； （3）把图1中的“CD，BD分别是∠ACB与∠ABC的平分线”分别改为“CD，BD分别是∠ACB与∠ABC的外角平分线”，如图3， 用含ɑ的代数式表示∠CDB . 2 问题的典型解法分析 2.1 问题（1）的四种典型解法分析 解法1：如图4，过D点分别添加AB、AC的平行线，从而把∠A、∠ABD、∠ACD搬运到∠BDC中，即得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，因为CD，BD分别是∠ACB与∠ABC的平分线，易得∠ABD+∠ACD=，即得∠BDC=. 解法2：如图5，作射线AD，根据三角形的外角性质易得，∠1=∠ABD+∠BAD，∠2=∠DAC+∠ACD，从而可得∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，然后参照解法1，可得∠BDC=. 解法3：如图6，延长线段BD交AC于E点，根据三角形的外角性质易得，∠BDC= ∠DEC+∠ACD，∠DEC=∠A+∠ABD，从而可得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，然后参照解法1，可得∠BDC=. 解法4：如图7，因为CD，BD分别是∠ACB与∠ABC的平分线，易得∠DBC+∠DCB=，由∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°，可得∠BDC=. 通过以上四种解法的比较，我们发现解法4在不添加辅助线的情况下，利用整体思想，即∠DBC+∠DCB=，较轻松求得∠BDC的度数. 受到第（1）题的简单解法的启发，笔者尝试在不添加辅助线的情况下用整体思想解决第（2）、（3）题. 2.2问题（2）、（3）的典型解法分析 第（2）题解法：如图2，∠ACF=∠A+∠ABC，由CD平分∠ACF，可知∠DCF=∠A+∠ABC， 又知∠DCF=∠BDC +∠DBC，而BD平分∠ABC，从而可得∠DBC=∠ABC，即∠DCF=∠BDC +∠ABC，则∠A+∠ABC=∠BDC+∠ABC，易得∠BDC=∠A=. 第（3）题解法：如图3，由第（1）题得到启发，只要求得∠DBC+∠DCB的值，根据由∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°，即得∠BDC的值，这里∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC，则∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，又因为CD，BD分别是∠ACB与∠ABC的平分线的外角平分线，所以∠DBC+∠DCB=（180°+∠A），即∠DBC+∠DCB=，从而可得∠BDC=. 3 问题的简单解法分析 问题（2）与（3）是由问题（1）演变而来的，上述的解法尽管可行，但每一题都要重新独立解答，劳动成本较高，而且不能较好地体现数学问题从特殊到一般的和谐之美，那么问题（2）、（3）有没有另外的解题突破口呢？能不能在问题（1）的基础上降低劳动成本，得到数学的和谐发展呢？笔者和学生们在对问题的深入探究后形成了一种独到的解题观点. 3.1问题（2）的简单解法分析 如图8作∠ACB的平分线交BD于D′点，建立问题（1）中的基本模型，利用问题（1）的解答结果可知∠B D′C=，由CD′，CD分别平分∠ACB与∠ACF易知∠D′CD=90°，根据三角形的外角性质，∠B D′C=∠D′CD+∠BDC，易知∠BDC=. 3.2 问题（3）的简单解法分析 如图9分别作∠ACB与∠ABC的平分线并交于D′点，建立问题（1）中的基本模型，利用问题（1）的解答结果可知∠B D′C=，由BD′，BD分别平分∠ABC与∠EBC可知，∠ D′BD＝90°，同理∠ D′CD＝90°，由四边形D′BDC的内角和为360°可得， ∠BDC=. 4 问题应用举例 4.1 应用举例1 如图10，G是△AFE两外角平分线的交点，P是△ABC的两外角平分线的交点，F，C在AN上，又B，E在AM上，如果∠FGE=66°，求∠P的度数. 解析：根据上述问题（3）的探究结