3.7协方差与相关系数.ppt

上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 第三章 随机变量的数字特征 §3.7 协方差与相关系数 随机变量 的离差与随机变量 的离差的乘积 的数学期望叫做随机变量 与 的协方差(或相关矩）. 记作： §3.7 协方差与相关系数 即 1.协方差 [定义1] 证： §3.7 协方差与相关系数 [定理1] ? 协方差的计算公式 [例1] 设二维随机变量 的联合概率分布如下： 求协方差 解： 由上表可知 的边缘概率分布为： §3.7 协方差与相关系数 所以 §3.7 协方差与相关系数 [定理2] 设随机变量 与 独立， 则 证： 因为 与 独立， 所以 于是 §3.7 协方差与相关系数 注： ① 由 不能推出 与 独立. 上题中, 但是 与 不独立. ② 由定理2 ,若 则 与 不独立， 即它们之间具有某种联系. §3.7 协方差与相关系数 [例2] 设 与 是任意两个随机变量， 证明： 证： §3.7 协方差与相关系数 协方差不适宜用作描述随机变量之间的相关性. 1. 如果随机变量 与 中的任一个与其数学期望 的离差很小, 则无论随机变量 与 之间有多么密切 的联系， 它们的协方差总是很接近于零. 2. 协方差是有量纲的量. 其量纲等于 及 的量 纲的乘积. §3.7 协方差与相关系数 2.相关系数 为了得到描述随机变量之间的相关性的与量纲无关 的数字特征. 将 标准化： [定义2] 与 的协方差叫做 与 的相关系数. 记作： §3.7 协方差与相关系数 ? 相关系数的计算公式 §3.7 协方差与相关系数 [定理3] 任意两个随机变量的相关系数 的绝对值 不大于 即 证： §3.7 协方差与相关系数 又因为， 所以得到 因为方差不可能为负数， 由此得 所以有 类似可得 §3.7 协方差与相关系数 [定理4] 当且仅当随机变量 与 之间存在线性关系 时， 相关系数的绝对值等于 并且 证： 因为 所以 §3.7 协方差与相关系数 于是 从而， 所以 当 时， 当 时， §3.7 协方差与相关系数 由定理3的证明过程知 若 则 即 以等于 的概率取唯一值——它的数学期望： 所以， 当 时， 即 §3.7 协方差与相关系数 其中 说明： 相关系数刻画的是 随机变量 与 线性相关的程度. §3.7 协方差与相关系数 [定理5] 若随机变量 与 独立， 则它们的相关系数 等于 即 注意： 反之不成立. 当 时， 表明 与 有近似的线性相关关系， 且 越接近 时， 线性相关关系越明显； 当 时， 则 与 之间不存在线性相关关系. 1. 协方差的定义： 2. 协方差的计算公式： 3. 若 与 独立， 则 （反之不成立） 4. 相关系数： 小 结 §3.7 协方差与相关系数 上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回