4.3协方差和相关系数.ppt

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 §4.3 协方差和相关系数 1. 定义 若E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，则称其为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X, Y)或Cov(X, Y), 即 Cov(X,Y) = E[X-E(X)][Y-E(Y)] 协方差 2.协方差的计算 4.3.1 协方差 离散型随机向量 其中 P{X=xi ,Y=yj}=pij i, j=1, 2, 3, …. 连续型随机向量 3. 协方差计算公式 Cov(X,Y)=E(XY )－E(X)E(Y) （1）若 X与Y独立,则Cov(X, Y)=0 注 （2）D(X±Y) = D(X) + D(Y)±2Cov(X, Y) 4. 协方差的性质 （1）Cov(X, Y) = Cov(Y, X) （2）Cov(aX, bY) = abCov(X, Y), a,b 为常数 （3）Cov(X1+X2, Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) （4）当X与Y相互独立时，有Cov(X, Y) = 0 例1 设二维随机变量的联合分布律为 p 0 1 0 q 0 1 0 X Y p q P 1 0 X 其中p+q=1，求相关系数?XY． 解 由(X,Y)的联合分布律，可得X与Y的边缘分布律为 p q P 1 0 Y 均为0-1分布，于是有 所以 求 解 因为 同理可得 例2 设二维（X，Y）随机变量的密度函数为 由协方差的性质(2)知, 协方差取值的大小要受到量纲的影响, 为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差 1. 定义 对于随机变量X和Y, 若D(X)≠０, D (Y)≠０, 则称 为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差） 。 当ρXY = 0时 , 称X与Y不相关。 （1）|ρXY| ≤ 1； （2）|ρXY| = 1当且仅当 P{Y=aX+b}=1 , 其中a, b为常数。 相关系数ρXY刻划了随机变量X和Y的线性相关程度。 4.3.1 相关系数（标准协方差） ２.性质 证明 （1） 即 (2) 由方差性质得 成立的充分必要条件为 而 的充要条件是 即 从而 且 于是由: 得 这说明X与Y是不相关的, 但 显然，X与Y是不相互独立的 例3 若X~N(0, 1), Y=X2, 问X与Y是否不相关？ 解 因为X~N(0, 1), 密度函数 为偶函数,所以 解 X，Y的联合密度f(x,y)及边缘密度 fX(x), fY(y) 如下： 从而说明二维正态分布随机变量X、Y相互独立 ρ=0，即X、Y相互独立与不相关是等价的。 例4 设(X, Y)服从二维正态分布，求X, Y的相关系数。 1.将一枚不均匀硬币投掷n次，以Ｘ和Ｙ分别表示出现正面和反面的次数，则Ｘ和Ｙ的相关系数为 （Ａ）－１； （Ｂ）０； （Ｃ） ? ； (D) 1 。 2.设随机变量Ｘ和Ｙ独立同分布，记U=X+Y, V=X-Y,则Ｕ和Ｖ （Ａ）不独立； （Ｂ）独立； （Ｃ）相关系数为０； （D）相关系数不为０。 3.设Ｘ是随机变量，Ｙ=aX+b (a≠０), 证明 ： ４.设随机变量Ｘ的概率密度为 求Ｘ与|X|的协方差，问Ｘ和|X|是否不相关，是否相互独立． 练 习 题 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂