4.线性空间.ppt

线性代数 线性空间 定义与例子 定义与例子 定义与例子 定义与例子 子空间 子空间 n维线性空间的定义 n维线性空间的定义 n维线性空间的定义 n维线性空间的定义 n维线性空间的定义 基变换与坐标变换 基变换与坐标变换 作业 3/lesson/LinearAlgebra 线性空间 定义与例子 子空间 n维线性空间的定义 基变换与坐标变换 线1/1 常见的向量集合 二/三维矢量，n维行/列向量，一元多项式 数域：集合，至少包含两个不同的数，关于数的加减乘除封闭 例：有理数Q，实数域R，复数域C，一般数域F 向量集合的基本运算规律(假设a,b,g是向量，l,m属于实数域) a+b=b+a (a+b)+g=a+(b+g) 存在零向量0，使0+a=a对任何向量a成立 对每个向量a都有负向量-a存在，使得a+(-a)=0 1a=a l(a+b)=la+lb (l+m)a=la+ma l(ma)=(lm)a 定1/4 线性空间的定义：设V是一个非空集合，它的元以a,b,g,…表示，又F是一个数域，其中的数以l,m,…表示，如果V具备以下条件 在集合V中定义了一个规则(加法运算)，使得对于V中的任意两个元a和b，由该规则确定了V中唯一的一个元g；这个g称为a与b的和，记为g=a+b；此加法运算满足前4条基本运算规律 在数域F中的数与集合V中的元之间定义了一个规则(数乘运算)，使得对于任意l?F和a?V，由该规则确定了V中唯一的一个元b；这个b称为数l与元a的乘积，记为b=la ；此数乘运算满足后4条基本运算规律 加法运算与数乘运算合称为线性运算；称集合V按所定义的线性运算构成数域F上的线性空间，简称V是F上的线性空间，V的元称为向量 例1：二/三维向量空间 V是平面/空间的原点出发的矢量的集合，F是实数域R 加法是矢量的平行四边形法则，数乘是实数与矢量的乘法 如果取定直角坐标系，那么向量以实二/三分量有序数组表示 称V是R上的实线性空间，记为R2/R3 定2/4 例2：n维向量空间 V是全体n维向量(x1, x2, …, xn)的集合，其中x1, x2, …, xn?F 加法是n维向量的加法，数乘是F中的数与n维向量的乘法 称V是F上构成的一个线性空间，记为Fn 如果F是实数域，那么称该空间为(实)n维向量空间，记为Rn；如果F是复数域，那么称之为n维复空间，记为Cn 当n=2,3时，Rn就是二、三维向量空间 例3：解空间 V是n元实系数齐次线性方程组的全体解向量(Rn的一个子集) 加法是n维向量的加法，数乘是实数与n维向量的乘法 称V为齐次线性方程组的解空间(实线性空间) 当齐次线性方程组只有零解时，解空间只有一个零向量，称为零空间 例4：Mm?n(R) F上的全体m?n矩阵，关于矩阵的加法及矩阵的数乘构成一个线性空间，记为Mm?n(F) ；如果F是R，那么记为Mm?n(R) 定3/4 定4/4 例5：连续函数空间 在区间[a,b]上的所有连续函数的集合，关于函数加法及实数与函数的乘法构成一个实线性空间，称为连续函数空间C[a,b] 例6：多项式空间 所有次数不超过n(非负整数)的实系数多项式集合，关于多项式的加法及实数与多项式的乘法构成一个实线性空间Pn[x] 线性空间的性质 向量集合的8条基本运算规律 零向量以及每个向量的负向量是唯一的 存在加法的逆运算(即减法)，且a-b=a+(-b) 0a=0, (-1)a=-a, l0=0；如果la=0，那么l=0或a=0 上一章许多关于向量组的定理、推论和例子，也适用于线性空间的向量组 例7：证明线性空间Pn[x]中向量组1, x, x2, …, xn线性无关 证：0=l0+l1x+…+lnxn是x的n阶方程，仅对有限个x成立 上式仅当l0=l1=…=ln=0时恒成立，即1, x, …, xn线性无关 定义：V是F上的线性空间，L是V的非空子集，如果L关于V中的加法及数乘运算也构成F上的线性空间，那么L称为V的子空间 例1：R3的子空间 xOy平面上的向量构成的二维向量空间是R3的一个子空间 Ox轴上的向量构成的一维向量空间是R3的一个子空间，也是xOy平面上二维向量空间的一个子空间 例2：n元实系数齐次方程组的解空间是Rn的一个子空间 例3：全体实系数多项式关于多项式的加法及实数与多项式的乘法构成的实线性空间，是连续函数空间(定义在数轴上的全体实连续函数关于通常函数加法及实数乘法所成)的一个子空间 例4：实线性空间Mn?n(R)中，一切对角矩阵构成它的一个子空间 例5：每个线性空间V本身是它自己的一个子空间 仅含零向量的子集是V的子空间，称为零子空间 子1/2 定理：如果L是V的非空子集且关于V的线性运算是封闭的(即如果a,b?L,l?F，则a+b?L,la?L)，那么L是V