《概率统计》第八讲.ppt

绍兴文理学院计算机基础教研室 概率论与数理统计 自学考试辅导班 第八讲 讲课提纲 协方差和相关系数; 常见分布的查表; 二元正态分布； 切贝谢夫不等式 大数定律与中心极限定理 χ2 -分布的定义; t-分布与F-分布。 协方差的定义 定义：Cov(ξ,η) =E(ξ-Eξ)(η-Eη) =E(ξη)-EξEη为ξ与η的协方差。 定义：若Cov(ξ,η)=0，则称ξ与η不相关。 协方差的性质 定理：若ξ与η独立，则它们不相关。(反之不一定) 证明：由 ξ与η的独立性, ∴E(ξη)=EξEη, ∴Cov(ξ,η)=0，它们不相关。 查概率分布表 若ξ~P(3),求P(ξ=5); 若ξ~P(3),求P(ξ≤5); 若ξ~B(20,0.15),求P(ξ≤5); 若ξ~N(3,4),求P(ξ≤5)。 正态分布的标准化 若ξ~N(μ,σ2),则 标准正态分布的分布函数 若ξ~N(0,1),记其分布函数为Φ(x): 标准正态分布的分布函数的性质 Φ(x)+Φ(-x)=1； Φ(-x)=1-Φ(x)； Φ(0)=0.5； x0时，P(|ξ |≤x) =2Φ(x) -1 二元正态分布 (ξ,η)~N(a1,a2 ,σ12,σ22,r)的联合概率密度函数为 大数定律与中心极限定理LNLCLT 切贝雪夫不等式； 概率论中的极限理论； 贝努里大数定律及其含义； 概率的统计定义的确切解释； 辛钦的大数定律等。 切贝雪夫不等式 如果随机变量ξ的数学期望Eξ及方差Dξ存在，则对任给的ε0有(ξ聚集在Eξ周围的程度的一个估计式)：(P.113) 不等式应用 若随机变量?的方差存在,估计 P{μ-3σξμ+3σ} , 其中μ=Eξ，σ2=Dξ； 若明确ξ~N(μ,σ2)，再作一估计[3σ原则]。 切氏不等式的应用 例1.若掷一枚骰子所得的点数 为随机变量ξ，它的数学期望 Eξ=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2, Eξ2=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6, ∴方差Dξ=91/6-49/4=35/12. 切氏不等式的局限 由于切贝雪夫不等式，不考虑随机变量ξ自身的特点，所以往往显得粗糙，精度不够。 注意(p.84)泊松定理ξ~B(n,p), np≈λ时P(ξ=k)≈λke-k/k! ， 即提议用泊松分布来近似B(n,p), 但p太大时也无法用。 极限理论 随机现象的统计规律性在数量小的时候并不明显，但在数量较大的时候不少随机现象的统计规律性会突现； 概率的统计定义中“频率的稳定性”的确切解释； 为什么正态分布如此之多？ 求π的一种方法 往右边蓝色的单位正方形中随机投入n个小点，统计落在红圆弧左下方的有k点，k/n应与π/4差不多，π与 4k/n 差不多。 贝努里大数定律 P.150定理.在独立重复试验中当实验次数n无限增加时，事件A发生的频率μn/n是“依概率”收敛于它的“极限”P(A),即对任给的ε0有： 切贝雪夫定理 P.152定理.设{Xn}是相互独立的期望、方差都相等的随机变量序列，对任给的i ,EXi=μ, DXi=σ2 ,则对任给的ε0有： 拉普拉斯定理 P.152定理.这是一个用正态分布来计算二项分布的定理，分局部极限定理与整体极限定理。 它与用泊松分布来求二项分布的定理可以配合使用。 中心极限定理 P.153定理(4.12). X1,X2,...是独立的同分布的随机变量，它们的期望EXi=μ, DXi=σ2存在,令： 三个重要分布 ξ~χ2(n)的p.d.f为…(P.156) ξ~t(n)的p.d.f.为… (P.156) ξ~F(n1,n2)的p.d.f.为… (P.157) 这将是统计中的重要分布 * 由ξ求ξ *的过程叫标准化。 *