1.1 椭圆及其标准方程.ppt

例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别为 并且经过点 求椭圆的标准方程. 解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 解法1 由椭圆的定义知 所以 又 所以椭圆的标准方程为 解法2 因为点 在椭圆上，又c=2，得 解得 所以椭圆的标准方程为 【变式练习】 求经过点 的椭圆的标准方程. 解析：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆方程为 将 的坐标代入椭圆方程，得 解得 与 矛盾，舍去. 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆方程为 将 的坐标代入椭圆方程，得 解得 故所求的椭圆方程为 【提升总结】 求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定a，b的值，写出椭圆的标准方程. 将 θ a O M y x 证明:将点M的坐标代入方程 有 例3 求证： 在椭圆 上. 的几何意义如图所示. 1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8， 则动点P的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹 B 2.已知椭圆的标准方程为 ,则焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(0,1) C.(±1,0) D.(0,±1) C C 4.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-3)(0,3)，椭圆上的点P到两焦点距离的和等于8.求椭圆的标准方程. 解析:由题意知椭圆的焦点在y轴上，故可设椭圆的 标准方程为 由题意， ， 所以， 椭圆的标准方程为 求椭圆标准方程的方法 一种方法： 二类方程: 三个意识： 求美意识， 求简意识，前瞻意识 不要只因一次失败，就放弃你原来决心想达到的目的。 ——威廉?莎士比亚 第二章 圆锥曲线与方程 §1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程 椭圆的汽车徽标 月球的运行轨道 椭圆的盘子 椭圆的镜子 篮球在阳光下的投影 从这些图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形.而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么如何确切的描述椭圆呢？我们能否动手画一个椭圆呢？ 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界 和在实际生活中的作用. 2.掌握椭圆的定义和标准方程.（重点） 3.掌握椭圆的标准方程的推导过程.（难点） 探究点1 椭圆的定义 对于篮球在阳光下的投影， 把太阳光看成一束平行光， 如图所示，照射在篮球上的平 行光线抽象为一个斜放的圆柱， 篮球面抽象为一个球面，球心 记作O1，篮球面与地面的接触 点抽象为球与平面的切点F1， 影子恰好是圆柱面被平面斜截 的截面，截面的边界线称为椭圆. O1 F1 对于上图所示的几何模型，把圆柱面延伸，在截面下面也放一个与圆柱面和截面都相切，且同样大的球，球心记作O2,该球与截面的切点为F2，如图所示. O2 F2 F1 O1 两个球与圆柱面的切点分别 构成了两个圆，圆心分别是 球心O1,O2，若P为椭圆上一 点，过点P作圆柱的母线，分 别交O1O2于A,B两点，则PA, PF1是球O1的切线段，所以 PA=PF1，同理PB,PF2是球O2的切线段，所以PB=PF2，因此，PF1+PF2=AB.又AB=O1O2，由此可以发现椭圆上的点到两切点的距离之和是定值O1O2. O1 F1 F2 O2 动手操作： 将一条细绳的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？ 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. 提示：圆 思考1 将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在不同的两点F1，F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？ M 结论：笔尖画出 的轨迹是椭圆. 思考2：在画椭圆的过程中， (1)细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 提示：固定的. (2)绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？ 提示：没变化.保持笔尖到两定点的距离和不变. (3)绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ 提示：三点M，F1，F2不共线时，构成三角形， 两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点 距离. 结合思考问题，你能给椭圆下一个定义吗？ 椭圆的定义： 椭圆的定义的符号表示： 平面内到两个定点F1，F2的距离之和_________ （大于|F1F2|）的点的集合叫做椭圆. 这两个 _____叫做椭圆的焦点， 两个焦点间的距离叫做椭圆的_____. 等于常数 定点F1，F2 焦距 2a2c0时，为椭圆. M 思考3：椭圆定义中为什么要求 常数大于|F1F2|(即2a2c)？ 提示