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协方差与相关系数
概率统计(ZYH) 5.3 协方差与相关系数 一、协方差的定义与性质 二、随机变量的线性逼近与相关系数 一、协方差的定义和性质 在5.2节方差性质4°的证明中 为此, 我们引入下面的定义. 即,如果随机变量X和Y是相互独立的, 则必有 E[(X-EX)(Y-EY)]=0这意味着当E[(X-EX)(Y-EY)]≠0时, X与Y 不相互独立或存在着一定的关系. 协方差 定义1 特别, 当X与Y 相互独立时,有 将上式展开, 易得公式 由协方差的定义亦容易推得协方差的如下性质 协方差的性质 例1 设X为一随机变量, 其方差为DX, Y=a+bX, 其中a与b均为常数, 求Cov( X ,Y ). 解 二、随机变量的线性逼近与相关系数 在解决实际问题时,常常需要用随机变量X的线性函数a+bX逼近随机变量Y.为了使这种逼近的近似程度好,我们自然希望误差|Y-(a+bX)|越小越好.或者更方便地,用误差 来衡量这种逼近的好坏程度.显然,r的值越小,则表示逼近程度越好.故应取a,b使误差r的值最小. 下面讨论a,b的取值. 参数a,b的确定 误差r的最小值: 相关系数的性质 证 相关系数满足|ρXY |≤1且 当|ρXY| 较大时rmin较小, 此时X与Y (就线性关系来说) 联系较紧密. 特别当ρXY=±1时, X与Y 之间以概率1存在着线性关系. 当|ρXY| 较小时 rmin 较大, 此时X与Y (就线性关系) 联系不够紧密. 特别当ρXY = 0 时 rmin 达到最大, X与Y 之间无线性关系可言, 这时称 X与Y 不相关. 性质表明: 相关系数ρXY刻画了随机变量X与Y 的线性相关性 相互独立 不相关 一般地 设随机变量X和Y的方差分别为4和16, 相关系数为-0.5, 求协方差Cov( X ,Y ). 例2 解 例3 例3 解 二维正态分布的密度是 对于二维正态分布, 参数ρ就是X与Y 的相关系数, 因而二维正态分布可由X与Y 的期望、方差及它们的相关系数完全确定. 且有如下 关系: 参数ρ=0 不相关 相互独立 5.3 协方差与相关系数 * 5.3 协方差与相关系数 概率统计(ZYH) 5.3 协方差与相关系数 *
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