协方差与相关系数.ppt.ppt

一、协方差: 1) Cov(X,Y)= E{[X-E（X）][Y-E（Y）]} 2) Cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 证明2) 例1 设（X，Y）服从二维正态分布,它的概率密度为 求X和Y的协方差. 4、性质: 　　ⅰ)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(对称性) ⅱ)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y), a,b常数 ⅲ)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) 二、相关系数: 称数值 不相关与独立的关系 例3 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为 验证X与Y不相关,但不是相互独立的 例4 设A,B为两个随机事件，由A,B定义两个随机变量X,Y如下， 试证：事件A与B相互独立的充要条件是X与Y不相关。 证 令p=P(A),q=P(B),则 E(X)=0·P(X=0)+1·P(X=1)= 0·(1-p)+1 ·p=p E(Y)=0·P(Y=0)+1·P(Y=1)= 0·(1-q)+1 ·q=q E(XY)=0·P(X=0,Y=0)+0·P(X=1,Y=0)+0·P(X=0,Y=1) +1·P(X=1,Y=1)=P(AB) X与Y不相关 E(XY)=E(X)E(Y) P(AB)=p·q P(AB)=P(A)P(B) A与B相互独立 例5 设随机变量X～N（0,1），Y=X2,求X与Y的协方差，问X与Y是否不相关?X与Y是否相互独立? 解易求得E(X)=0,E(Y)=E(X2)=1,E(XY)=E(X3)=0 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-0·1=0 X与Y不相关 P{X≤1,Y≤1}＝P{X≤1, X2 ≤1} = P{X≤1, -1 ≤ X ≤1}= P{-1 ≤ X ≤1} ≠ P{X≤1｝P{ -1 ≤ X ≤1} 所以X与Y不相互独立 三 高阶矩 例６　设随机变量X的密度函数为 试求X的k 阶中心矩。 解　因为 E(X)=0,故 四、随机向量的数字特征: * §3 协方差和相关系数　　　　Covariance 在实际应用中，经常需要研究两个随机变量X与Y 之间的关系，希望通过对其中一个随机变量的观察，以预 测另一个随机变量的取值。例如：研究子身高与父身高之 间的相互关系，以期通过父高预测他的子高，这实际上就 是要求构造一个预测函数h(x)，当得到父高X的观察值x时， 就以相应的函数值y=h(x)为子高Y的预测值. 　为研究随机变量间的关系，引进协方差的概念。 1、定义: 设随机变量X与Y Cov(X,Y)= E{[X-E（X）][Y-E（Y）]} 称其为X与Y的协方差,也记为?XY .从上节方差的性质3的证明可知： 若X、Y相互独立 Cov(X,Y)=0, 若Cov(X,Y) ≠0,则X与Y就不独立，也即X与 Y之间存在一定关系。 ① ② 方差与协方差的关系为： D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 证明:③D(X+Y)=E{[X+Y-E(X+Y)]2} = E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2} =E{[X-E(X)] 2}+E{[Y-E(Y)]2}+2 E{[X-E(X)] [Y-(Y)]} =D(X)+D(Y)+ 2 E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} =E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)] =E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(x)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0 ③ 当X、Y独立,D(X+Y)=D(X)+D(Y);可推广 协方差是刻划R．V．X与Y间取值的相互关系的数字特征 显然Cov(X,X)=D(X), Cov(Y,Y)=D(Y) 2、意义 3、计算方法 Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =E{XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 解： 所以（X,Y）的边缘密度为 所以E（X）= ?1 ， E（Y）= ?2，D(X)= ,D(Y)= ∴ COV（X，Y）=??1 ?2 COV（X，Y）=E[（X－?1)（Y －?2）]= =Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) 证明ⅲ) 为X,Y的相关系数. 注： ①上式中当然假设D(X)?0,D(Y) ?0,如果 D(X)与D(Y)中有一个