1_有限单元法简介.ppt

节点和单元 节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。 J I I J J K L I L K I P O M N K J I L 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ 三维梁单元 二维或轴对称实体单元 UX, UY 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, 三维实体热单元 TEMP J P O M N K J I L 三维实体结构单元 ROTX, ROTY, ROTZ ROTX, ROTY, ROTZ UX, UY, UZ, UX, UY, UZ * 有限单元法简介 * 二、有限单元法简介 有限单元法的基本思想： 1、将一个连续域离散化为有限个单元，并通过有限个节点相连接的等效集合体。由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。 2、有限元法利用在每一个单元内假设的的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表达。 3、一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个节点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。 4、一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。 * 有限单元法简介 * 三、有限单元法分析步骤 有限元法分析问题的基本步骤： 1、结构的离散化 离散化就是将要分析的结构分割成有限个单元体，并在单元的指定位置设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，构成单元的集合体代替原来的结构。 结构离散化时，划分的单元大小和数目应根据计算精度的要求和计算机的容量来决定 选取坐标（右手法则） 选择合适的单元，离散结构物为有限个单元，并对单元、节点进 行编号 * 有限单元法简介 * 三、有限单元法分析步骤 2、选择位移插值函数 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布做出一定的假设，一般假定位移是坐标的某种简单函数。选择适当的位移函数是有限单元法中的关键。 { f } — 单元内任意点的位移列矩阵 [N ] — 单元形函数矩阵 — 单元节点位移的列矩阵 * 有限单元法简介 * 三、有限单元法分析步骤 3、分析单元的力学特性 利用几何方程、本构方程和变分原理得到单元的刚度矩阵和载荷矩阵 {R}e= [K]e {δ}e {R}e — 单元节点力 [K]e — 单元刚度矩阵 * 有限单元法简介 * 三、有限单元法分析步骤 4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程 先将各个单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵[K]，然后将各单元的等效节点力列阵集合成总的载荷列阵 [K ] =Σ[K]e 5、由平衡方程求解未知节点位移{δ} 按照问题的边界条件修改总的平衡方程，并进行求解。 * 有限单元法简介 * 三、有限单元法分析步骤 6、单元应变和应力的计算 根据已知结点的位移利用弹性力学方程和位移插值函数算出单元的应变和应力。 * 有限单元法简介 * * 有限单元法简介 * 有限元法的要点 在工程或物理问题的数学模型: 基本变量; 基本方程; 求解域和边界条件等 确定以后，有限元法作为对其进行分析的数值计算方法的要点可归纳如下： * 有限单元法简介 * (1)将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域(单元)，并通过它们边界上的节点相互联结成为组合体。 下图表示将一个二维多连通求解域离散为若干个单元的组合体。图(a)和(b)分别表示采用四边形和三角形单元离散的图形。各个单元通过它们的角节点相互联结。 (2)用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解 域内待求的未知场变量。 每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在单元各 个节点上的数值和与其对应的插值函数来表达(此表达式 通常表示为矩阵形式)。 由于在联结相邻单元的节点上，场函数应具有相同的数 值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。 转换为 求解原来待求场函数的无穷多自由度问题 求解场函数节点值的有限自由度问题 (3)通过和原问题数学模型(基本方程、边界条件)等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量(场函数的节点值)