教案4-3.doc-地理教学论.doc

《概率论与数理统计》教案4.3 教学内容：§4.3协方差与相关系数 教学目的： 通过本节内容的教学，使学生： 1、理解协方差的概念和性质，并学会计算； 2、了解相关系数的概念和性质，并学会计算； 3、掌握四个等价命题的推导过程； 4、简单介绍矩的概念。 教学重点：协方差和相关系数的概念和性质 教学难点： 协方差和相关系数的计算 教学时数：2学时． 教学过程： 引言 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数。 一、协方差 1、定义 设为二维随机向量，若存在，则称它为X与Y的协方差，记作Cov(X,Y)，即 计算公式： 证： . （注）1）若X与Y独立， 特别地： 2）随机变量和的方差与协方差的关系： D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y). 2、性质 1） 2） 证： . 3） 证： . 二、相关系数 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数. 1、定义: 设D(X)0, D(Y)0,称 为随机变量X和Y的相关系数. 在不致引起混淆时，记为 2、相关系数的性质： 1） 证：由方差的性质和协方差的定义知，对任意实数 b, 有 令，则上式为 由于方差D(Y)是正的,故必有，所以. 2）X和Y独立时，，但其逆不真. 证：由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. 故 但由，并不一定能推出X和Y 独立. （注）当时，称X与Y不相关，即X,Y不存在线性关系，但有可能有其它关系，如双曲线关系等. 所以说：独立一定不相关，反之，不相关不一定独立. 请看下例： 例1 设(X,Y)分布律为： -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 3/8 0 1/8 0 1/8 2/8 1 1/8 1/8 1/8 3/8 3/8 2/8 3/8 1 易知： 故，即X与Y不相关. 但因，与不相等 可知X,Y不是相互独立的. 例2 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而Y=cos X 不难求得：Cov(X,Y)=0 事实上，X的密度函数 因而，即X和Y不相关. 但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立 . 3）的充要条件是X与Y之间线性相关，即存在常数a,b，使得 即 X 和 Y 以概率1线性相关. 分析：相关系数刻画了X和Y间“线性相关”的程度. 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，以均方误差来衡量以 a+b X 近似表示Y 的好坏程度：e 值越小表示 a +b X 与 Y 的近似程度越好. 用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的 a,b 解得 这样求出的最佳逼近为 这一逼近的剩余是 可见,若Y与X有严格线性关系；若，Y 与 X 无线性关系; 若，的值越接近于1, Y 与 X 的线性相关程度越高；的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱. 三、等价命题 对随机变量X与Y，下列命题是等价的： 1）； 2）X与Y不相关； 3）； 4）. 四、矩 定义：若存在，则称它为X的k阶原点矩，均值是一阶原点矩； 若存在，则称它为X的k阶中心矩，方差是二阶中心矩. 五、小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数，相关系数是刻画两个变量间线性相关程度的一个重要的数字特征. 注意独立与不相关并不是等价的. 当(X,Y) 服从二维正态分布时，有X与Y独立X 与 Y 不相关. 六、作业 习题四P146-146，13-19题. 陇南师范高等专科学校数学系《概率论与数理统计》课程教案 王胜青 4 Y X