数学文化-6.ppt.ppt

4.1.7高斯的功绩 高斯（Gauss Carl Friedrick 1777-1855），与阿基米德和牛顿并列为历史上最伟大的数学家。 24岁发表《算术研究》，是数学史上最出色的成果之一。 利用数论对正n边形作图问题提出了代数解法。 使用了复数，并在1831年借助复数的平面表示建立了严密的复数理论。 是首先认识到非欧几何存在的人，并奠定了曲面内蕴几何学的基础。 §4.2素数定理与哥德巴赫猜想 4.2.1素数定理 定理1 素数有无穷多个。 证明:反证法 哈代评价说：“我们最好还是回到古希腊人那里去，我要叙述并证明希腊数学中两个有名的定理，这两个定理都很简单。”“在思想和演算上都很简单，但毫无疑问它们是最高水平的定理。每一个定理现在仍然像它们刚发现时那样生机勃勃而举足轻重—两千年的岁月没有使它们产生一点陈旧感。” §4.2素数定理与哥德巴赫猜想 4.2.1素数定理 欧几里得的证明带来了一个有趣的问题，如 2*3*5*7*11+1这样的数是不是素数？ §4.2素数定理与哥德巴赫猜想 4.2.1素数定理 定理2 相邻素数的间距要多大有多大。 证明:通过举例证明,存在999个连续的自然数,其中没有一个是素数,它们是: 1000!+2, 1000!+3, 1000!+4… 1000!+1000。 同样的方法可以造出更大的间隔,这样就完成了定理的证明。 §4.2素数定理与哥德巴赫猜想 4.2.1素数定理 2和3是唯一一对相差为1的素数。2和5是唯一一对相差为3的素数。 2和7是唯一一对相差为5的素数。 不存在一对相差为7的素数。 相差为2的素数比较多，我们称其为孪生素数,如 3,5；5,7；11,13 ；17,19；29,31；41,43… 孪生素数对的个数是有限还是无限是数论中最高深的研究课题之一。 §4.2素数定理与哥德巴赫猜想 4.2.1素数定理 定理3(素数定理) 定理4（切比雪夫1848） 1896年，法国数学家阿达马和泊松几乎同时相互独立证明了素数定理。但比较初等的证明直到1949年才给出。 4.2.2哥德巴赫猜想 1742年，德国数学家哥德巴赫（Christian Goldbach,1690-1764）在和欧拉的几次通信中，提出了关于正整数和素数之间关系的两个推测，即： （A）每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和； （B）每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和； 这就是著名的哥德巴赫猜想。 我们把猜想（A）称为“关于偶数的哥德巴赫猜想”；把猜想（B）称为“关于奇数的哥德巴赫猜想”。 由（A）的正确性可以推出（B）的正确性。 4.2.2哥德巴赫猜想 6=3+3 8=3+5 10=5+5 12=5+7 14=7+7=3+11 16=3+13=5+11 18=5+13=7+11 20=3+17=7+13 22=3+19=5+17=11+11 24=5+19=7+17=11+13 26=3+23=7+19=13+13 28=5+23=11+17 30=7+23=11+19=13+17 …… 4.2.2哥德巴赫猜想 欧拉虽然没能证明这两个猜想，但肯定上述猜想是正确的。直至今天人们还不能最后的肯定它的真伪，为了证明它人们付出了艰巨的努力。 从提出猜想到19世纪结束这160年，虽然许多数学家对它进行了研究，但是没有得到任何实质性的结果。这些研究大多是对猜想进行数值的验证（有人企图推翻它），提出一些简单的关系式或进行一些新的推测。 4.2.2哥德巴赫猜想 1900年，希尔伯特提出了23个比较重要的没有解决的数学问题，并期待在新世纪有较大的突破。哥德巴赫猜想是其第八个问题的一部分。 1912年，朗道比较悲观的认为，即使要证明：“存在一个正整数k，使每一个大于等于2的整数都是不超过k个素数之和。”也是非常困难的。 1921年，哈代认为哥德巴赫猜想可能是没有解决的数学问题中的最困难的一个。 4.2.2哥德巴赫猜想 但是，从1920年开始，哥德巴赫猜想陆续取得了一系列的突破。 1937年，苏联数学家阿 .维诺克拉多夫（1891-1983）证明了每一个充分大的奇数都是三个奇素数的和。 1938年，华罗庚及一些国外的数学家独立地证明了，哥德巴赫猜想对几乎所有的偶数都成立。 4.2.2哥德巴赫猜想