波利亚解题思想研究.ppt

波利亚及其解题理论 波利亚及其解题理论 波利亚的教育思想 弄清题意 未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 画张图,并引入适当的符号； 把条件的各部分分开，并把它们写下来。 学生比较容易发现AE=AD=BC 启发：已知条件是什么？平行四边形有什么性质？要证明什么结论？你打算怎样实现这个结论？（三角形全等？）哪两个三角形，图中有吗？（没有）怎么办？（构造）怎么构造？这些已知条件可以怎样利用呢？…… 拟定计划(核心) 考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道一个可能用得上的定理? 考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? 能否用不同的方法重新叙述它? 回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题. 是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念? 执行计划 把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式子表述出来； 修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案； 解题要求是:严密具有逻辑性. 检验回顾 你能拟定其它解题方案吗? 你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用它的方法吗? 你能找到什么方法检验你的结果吗? 数学究竟是由什么组成的？ “问题是数学的心脏.” ——P．R．Halmos “最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来，列出在新世纪里数学家应当努力解决的问题.” ——Minkowski 某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不容否认的．只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题．正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更广阔、更自由的境界.　　　 　　　 ——希尔伯特 (1900) 解题是数学的特点 “夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题．” ——杨辉 “从来没有像现在这样，美国人需要为生存而思考，他们需要进行数学式的思维．” ——美国数学科学委员会(1989) 学数学如同下围棋，必须实践(做习题)，必须和较高水平的人切磋(做有一定难度的题)，棋力(数学水平)才有长进．此外，还需揣摩成局(学习定理的证明或著名问题的解法)，领会其精髓(深刻的数学思想) ——单墫 解题是数学的特点 做习题并不只是在学完一个方法或一些知识之后．知识、方法应当尽可能地通过问题的形式引人． 解题是数学的特点 　例1：一大学教授向中学生介绍图论 定义　图G=(V，E)，由顶点集V与一些连结V中两个点的边的集E组成． 定义 如果E由连结V中每两个点的边组成，那么G＝(V，E)称为完全图． 定义　如果图G1＝(V，E1)，G2＝(V，E2)具有相同的顶点集V，并且E1∩E2＝ ，(V，E1∪E2)是完全图，那么称G1为G2的补图． 定理　在|V|≥6时，G=(V，E)或它的补图中必有三角形． 解题是数学的特点 　符合中学生特点的教法： “任意六个人中必有三个人互相认识或三个人互不相识．为什么？” 为了解决这个问题，为了叙述的方便，我们用六个点表示六个人．如果两个人互相认识，就将相应的两点用线连结起来．这种由点及一些连结点的线组成的图形，就称为图．问题就成为： “六个点的图中，一定有三个点两两相连(即构成三角形)，或者有三个点互不相连.” 12条解题要诀 ——单墫（解题研究） 1．要享受到解题的乐趣．对解题有浓厚的兴趣， 能有几分痴迷更好． 2．要有充足的信心． 3．要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力． 4．要做100道有质量的题目． 5．反复探索，大胆地跟着感觉走． 6．从简单的做起． 7．从不同的角度看问题． 8．学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想法”． 9．设法创造条件，不断变更问题． 10．引入适当字母，向基本量靠拢． 11．力求简单自然，直剖核心． 12．注意总结． 参考资料 波利亚著《怎样解题》(阎育苏译).北京:科学出版社,1982年. 波利亚著《数学的发现》第一卷,欧阳绛译,北京:科学出版社,1982年.第二卷,刘远图等译,北京:科学出版社,1987年. 波利亚著《数学与猜想》(第一卷,李心灿等译,第二卷,李克尧