2016年全国数学理科卷压轴试题分析.doc

导数 普通高等学校招生全国统一数学科考试大纲明确提出：“数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考查考生进入高等学校继续学习的潜能。”从这个意义上讲，纵观考纲所列知识点，导数应该是最能体现上述要求的内容之一，理由有三：一是导数在各学科中有其广泛的应用，是体现数学科基础性的重要内容。二是导数不仅是中学数学教学主要的基础知识，而且其概念本身蕴含着深刻的数学思想和方法，蕴含着常量数学向变量数学飞跃的辩证思考，有利于考生对数学本质的理解和学习数学能力的提升，而且极易于命题。三是导数是学生进入高等学校进一步深造的必备的基础知识。所以导数部分必然是每年高考的重点考的内容之一。 命题趋势 纵观近近三年高考导数所涉及的试题，题型基本稳定、稳中有变是命题的主旋律。“稳”体现在：1、试题所涉及知识点基本稳定。试题所涉及知识点主要是考纲中所列掌握部分，如基本初等函数求导、求导法则、求函数单调性、极值等。2、试题形式设计上基本稳定。试题条件式是由基本初等函数经代数运算和复合运算后产生的式子；所提问题大体是求函数表达式、曲线切线、判断函数单调性、函数零点、求最（极）值等；在试题设问布局中，仍然采取问题Ⅰ容易入手，问题Ⅱ难度较高的设置，并且问题Ⅰ往往为问题Ⅱ的解决打下一些伏笔，以保证试题的得分率和区分度。3、重点知识重点考。试题仍侧重考察曲线切线问题、函数当调性问题、函数不等式问题、最（极）值问题等。“变”体现在：1、对求导法则的考查更加灵活多变，借助综合抽象函数式、函数乘除法求导法则等的变式来整合试题是命题趋势。2、尽管试题形式基本稳定，但解决问题的思想方法在变，试题更趋向于运用必修部分的函数性质、函数与方程、函数有界性的思想解决问题。3、条件式中出现含正余弦函数的问题，应该引起重视。4、含参数问题中的参数讨论方法也是灵活多变，如：分离变量法、函数有界法、解不等式法等都有出现。 解决方法 解题方法主要有：1、注重求导法则与抽象函数相综合的灵活运用，特别强调乘除法求导法则的变式练习更为重要。2、根据问题需要，借助多次构造函数解决函数单调性、导数符号正负等解决一些问题所必须采取的方法。3、对于不等式问题，除运用函数单调性解决外，还要注意运用其它手段和方法，如：极端性原理、函数有界性、构造两个函数并做其上下界比较、单调函数条件下的函数值与自变量值大小转换等。4、多积累解决参数问题的方法，会用分段讨论法、函数有界法、分离参数法等手段讨论处理参数问题。5、从简化解题运算复杂程度角度出发，对所研究的式子进行适度变式求导；在构造函数前，思考一下舍弃无关的数学式子，再构造函数等方法和技巧对解决问题都有极大益处。6、注意试题中前一个设问所得结论、解题思想方法等，在解下一个问题中是否可以运用等。 真题分析 例1 2016年全国理科1卷 21、（本小题满分12分） 已知函数有两个零点. (I)求a的取值范围； (II)设x1，x2是的两个零点，证明：＋x22. (I)，注意到函数有两个零点等价于函数图像与轴有两个交点，等价于如果存在一个点，且在左右有与符号相反的函数值即可。从用导数解决该问题的角度思考，如果存在一个极值点，且在左、右单调性相反，并存在与符号相反的函数值即可。这是对同一问题，提出的两个解决问题的不同侧面而已。 对于问题(II)，注意到如果函数是增（减）函数，则等价于（），即：在已知函数单调性的条件下，自变量、函数值大小是可以互相转换的（必修一的知识）。基于此要证明，即。如果我们能够推出、在函数的递增区间，且有问题显然就解决了。到此一是求导判断单调性。二是将、转化到同一单调区间。综合上述两方面的论述知与大小关系，从而问题得到解决。 【解析】(I)，为判断是否符合条件，及导函数符号方便，对进行讨论。 当，则，只有一个零点。 当，则时，；时，，所以，时，减函数，时，增函数，又，，又取满足且，。所以，此时有两个零点。 当，由 得，或，且 ，或时，；时，，检验知，函数不存在两个零点。 ，同理可知，函数不存在两个零点。 综上所述，的取值范围 (II)不妨设，则由(I)知，则。这样就把、转化到一个区间中。又由时，减函数，所以，等价于。注意到，只需推出即可证。 注意到，所以 设，则，所以，时，，又，故当时，，即，所以 因此， 例2 2016年全国理科2卷（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数的单调性，并证明当时， (II)证明：当 时，函数 有最小值.设的最小值为，求函数的值域.(I)可能为 问题(II)的解决提供帮助某种可能，对我们解题就大有益处了。对于问题(I)前半部分，只要对求导，解导函数不等式不等式就可