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* 2．3　 弧度制 　 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．弧度制的定义． 2．用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 3．角度制与弧度制的换算． 4．角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系． (二)能力训练点 1．理解并掌握弧度制定义，领会弧度制定义的合理性． 2．熟练地进行角度制与弧度制的换算． 3．掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式解题． (三)德育渗透点 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系． 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制的互化换算；弧度制的运用． 2．教学难点：理解弧度制定义，弧度制的运用． 3．教学疑点：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的半径大小无关． 三、课时安排 本课题安排1课时． 四、教与学过程 (一)复习角度制 师：我们在初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？ 师：这位同学答得完全正确，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其它许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度——弧度制，它是如何定义的呢？ (二)弧度制定义 师：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图 提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？ 师：如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l=3πγ，那这个圆心角的弧度数是多少？ 的弧度数是-3π． 师：下面我们给出弧度制的定义．一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的 γ为圆的半径．这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？ (教师启发学生画出如图2-8的示意图，复习初中已学过的弧长公式．) 分别为l和l′，点M和M′到点O的距离(即圆半径)分别为r(r＞0) 半径的比值，由∠α的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关． 的长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积．这个圆弧长公 式，用弧度制表示比用角度制表示简便得多． 长，R是圆的半径． (三)角度制与弧度制的换算 师：我们已经知道若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是2π，而在角度制里它是360°，因此 360°=2π弧度 →180°=π弧度 提问：1°等于多少弧度？1弧度等于多少度？ 生：由180°=π弧度，等式两边同除以180可得到： 师：进一步我们还可通过计算得到 下面我们可利用这个公式进行角度制与弧度制的换算． 例2　 把22°30′化成弧度． 师：同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住180°=π弧度这个关键．下面请大家写出一些特殊角的弧度数． 师：度数与弧度数的换算，还可利用《中学数学用表》中的《度、分、秒化弧度表》、《弧度化度、分、秒表》来进行，用法详见表中说明． (四)角的集合与实数集R的一一对应关系． 师：用弧度制来度量角，实际上是在角的集合与实数集R之间建立这样的一一对应关系：(如图2—10所示) 每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应． 于是，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数，它的自变量的意义可以有多种解释，从而使三角函数的应用更加广泛．在高等数学与科学研究中所以普遍采用弧度制，这是原因之一． (五)角度制与弧度制的比较 师：引进弧度制后，我们应将它与角度制进行对比，同学们应明确：(1)弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；(2)1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大 *