数值微分小等间距数据宽间距数据.ppt

微分和積分與微分方程 張基昇製作 目錄 數值微分 小等間距數據 寬間距數據 寬等間距數據 寬不等間距數據 數值積分 微分方程 數值微分 數值微分 小等間距數據 寬等間距 寬不等間距 數值微分 – 小等間距數據 數值微分 小等間距數據 數值微分 – 小等間距數據 問：計算在 x = 2.4 時的一次導數值 原始範例方程式 一次微分式 各階微分式 一次微分式 兩次微分式 三次微分式 四次微分式 數據表 數據表 原函數直接微分之結果 在 x = 2.4 時，一次導數的計算結果 f ’(x)= 4.* x + 3. = 4 * 2.4 +3 =12.6 一階導數計算式 摘列4種一階導數之數值方法計算式 = (26.32 - 23.72) / 0.2 = 13.0 = (26.32 - 21.28) / (2 * 0.2) = 12.6 一階導數計算式 摘列4種一階導數之數值方法計算式 = (-29.08 + 4 * 26.32 - 3 * 23.72)  / (2 * 0.2) = 12.6 一階導數計算式 摘列4種一階導數之數值方法計算式 = (-29.08 + 8 * 26.32 - 8 * 21.28  + 19.00) / (12 * 0.2) = 12.6 計算通式 摘列4種一階導數之數值方法計算式 偽碼法 - 計算流程 宣告矩陣：dimension x(50)、f(50)， 兩變數都以一維向量宣告。 矩陣位址不可使用 0，亦即在數據點 n = 0 的 x = 0.0 和 f = 5.0 點，在矩陣是放在 x(1) 與 f(1) 的變數中。 但在數值方法中，則由 n = 0 為起始，做算式推衍與分析。 偽碼法 - 計算流程 宣告變數位元數：依需要宣告 如整數、實數、字元 是否需要倍準制等等 Open 開啟輸入與輸出指定路徑之檔案 偽碼法 - 計算流程 Read 讀入數據： N = 26；數據點 Nn = 13；計算點 Xx = 2.4；計算點的值 x(i) , f(i) ， i=1,n；以迴圈讀入數據 選擇計算點Xx，確定 i = Nn 值 偽碼法 - 計算流程 選擇計算式；依計算準確度選擇 Fd1i = (f(i+1) - f(i))/h Fd1i = (f(i+1) - f(i-1))/(2*h) Fd1i = (-f(i+2) + 4. * f(i+1) – 3. * f(i))  / (2.*h) ； Fd1i = (-f(i+2) + 8. * f(i+1) – 8. * f(i-1) + f(i-2)) / (12. * h) Write 輸出計算結果 數值微分 – 寬間距數據 數值微分 寬等間距數據 寬不等間距數據 數值微分 – 寬間距數據 問：計算在 x = 2.4 時的一次導數值 數據之原始範例方程式 一次微分式 泰勒級數展開 The Taylor-Series Expansion 泰勒級數展開 The Taylor-Series Expansion 數值微分 – 寬間距數據 以多項式取代原函數 有一個非線性函數可表示成 n 階的多項式表示 分離差分法級數展開式 利用泰勒級數展開的觀念，但採用分離差分法處裡，其表示式為 各階差分式 一、二、三階的差分項之表示式 差分數據表 等間距數據 不等間距數據 高階差分式 各多項式為多階函數，為差分項相乘之之運算， 所以高階項微分之結果為 一次導數計算通式 計算一次導數之使用通式一 計算一次導數之使用通式二 一次導數計算通式 計算使用式三，應用於本範例的計算 偽碼法 - 計算流程 宣告矩陣：dimension x(10)、f(10,10) ， 以二維矩陣宣告之範例。 矩陣位址不可使用0，亦即數據點 n = 0 的 x = 0.0 和 f = 5.0 點，在矩陣是放在 x(1) 與 f(1,1) 的變數中。 宣告變數：依需要宣告 Open 宣告輸入與輸出檔案之路徑 偽碼法 - 計算流程 Read 讀入數據： N=6；數據點 Nn；起算點 Xx；計算點 x(i) , f(i,1)； i=1,n； 其餘需要之 f(i,2)、f(i,3)、…、f(i,6) 等，於插分表建立時宣告數值 偽碼法 - 計算流程 建立插分表 Do 迴圈建立差分表 f(i,j) = 0.0； i=1,n；j=2,n f(i,2) = [f(i+1,1) - f(i,1)] /[x(i+1)-x(i)] ； i=1,n-1 f(i,3) = [f(i+1,2) - f(i,2)] /[x(i+2)-x(i)] ；