浙江大学概率论与数理统计第一章.ppt

两个结论 例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率. 解 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”. 1. 样本空间的划分 三、全概率公式与贝叶斯公式 2. 全概率公式 全概率公式 图示 证明 化整为零 各个击破 说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果. 例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 设事件 A 为“任取一件为次品”, 解 由全概率公式得 30% 20% 50% 2% 1% 1% 称此为贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式 贝叶斯资料 证明 例7 解 (1) 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得 解 例8 由贝叶斯公式得所求概率为 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率. 先验概率与后验概率 解 例9 由贝叶斯公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症. 1.条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 四、小结 乘法定理 贝叶斯资料 Thomas Bayes Born: 1702 in London, EnglandDied: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England 一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 四、小结 第六节 独立性 一、事件的相互独立性 则有 1.引例 事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关. 说明 2.定义 两事件相互独立 两事件互斥 例如 由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥. 两事件相互独立与两事件互斥的关系. 请同学们思考 二者之间没 有必然联系 由此可见两事件互斥但不独立. 3.三事件两两相互独立的概念 注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立 4.三事件相互独立的概念 n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立 推广 证明 二、几个重要定理 证明 又因为 A、B 相互独立, 所以有 例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 解 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 1 2 3 4 12 7 7 7 7 7 故一周内接待 12 次来访共有 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的. 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 周二 周四 1 2 3 4 12 2 2 2 2 2 12 次接待都是在周二和周四进行的共有 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为 例6 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为 故64 个人中至少有2人生日相同的概率为 解 说明 我们利用软件包进行数值计算. 定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型. 三、几何概型 那么 两人会面的充要条件为 例7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 会面问题 解 故所求的概率为 若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 例8 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某 站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定 (1) 见车就乘; (2) 最多等一辆 车. 求甲、乙同乘一车的概率. 假定甲、乙两人到达车站的时 刻是互相不牵连的，且每人在 1 时到 2 时的任何时刻到达车 站是等可能的. 见车就乘 的概率为 设