24.2.1 切线长定理(共24张PPT).ppt

无为二中 倪进友 1、如下左图，点A在⊙O上，P是⊙O外一点，∠OAP是直角，PA是⊙O的切线吗？为什么？ 2、如何过⊙O外一点P作⊙O的切线，这样的切线能作几条？ 如右图所示 切线长定义： 过圆外一点向圆可以画两条切线，这点和切点 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线是直线，切线长是线段的长 在下图中，PA、PB是⊙O的两条切线， 切点分别是A、B，沿直线OP将图形对 折，你发现了什么？ 1、图形是 对称图形， 该图形关于 对称； 2、PA= ， =∠BPO 轴 直线OP PB ∠APO 你能从理论上说明你的结论吗?请你尝试证明一下好吗？ 证明：连接OA、OB ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴PA⊥OA、PB⊥OB 即△POA、△POB是直角三角形 又∵OA=OB、OP=OP ∴△POA≌△POB ∴PA=PB、∠APO=∠BPO 已知如图，P是⊙O外一点，连接PO,PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B， 求证：PA=PB、∠APO=∠BPO 如右图所示 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相等， 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠1=∠2 符号表示为 1 2 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B， 直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C. ⌒ ⌒ （1） AD 与BD是否相等？为什么？ （2）OP与AB有怎样的关系？为什么？ ⌒ ⌒ 解：（1） AD = BD ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠PAO=∠PBO=90° ∠APO=∠BPO ∴∠AOD=∠BOD ∴ ⌒ ⌒ AD = BD （2）∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点 ∴PA=PB 又∵∠APO=∠BPO ∴OP⊥AB，AC=BC 即OP垂直平分线段AB。 例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P， 求证： AD+BC=AB+CD D L M N A B C O P 证明：由切线长定理得 ∴AL=AP，LB=MB,NC=MC， DN=DP ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC 补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等． 1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 小 结： A P O 。 B E C D ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 2 .圆的外切四边形的两组对边的和相等． 切线长定理的基本图形的研究 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。 B A P O C E D （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中相等的圆弧 （5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP， △AOB （6）若PA=4、PD=2，求半径OA （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB= P A B C O 60° （4）OP交⊙O于M，则 ，ＡＢ ＯＰ ＡＭ＝ＢＭ ⌒ ⌒ M ⊥ 牛刀小试 （3）若∠P=70°，则∠AOB= ° 110 （1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA OA=3 。 P B A O 反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。 （3）连结圆心和圆外一点 （2）连结两切点 （1）分别连结圆心和切点 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 练习1：已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线， A、B为切点，BC是直径。 求证