24.2.2.3 切线长定理.ppt

新课学习 P A O B 1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 2、这样的切线能画出几条？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线。 画一画 在经过圆外一点做圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 F A P B 切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 比一比 切线与切线长是一回事吗？ 它们有什么区别与联系呢？ B P O A 已知PA 是⊙O切线， A为切点，连接OP，把圆沿着直线OP对折,设圆上与点A重合的点为B，这时OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？你能发现什么? 探究活动一：折一折 P A O B 请证明你所发现的结论。 A P O B PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 证一证 ∵PA、PB分别切⊙O 于A、B ∴PA = PB， ∠OPA=∠OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何语言: 小结：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 切线长定理 P A O B 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB 证明：∵PA，PB是⊙O 的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB 试一试 A P O B M 探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。 B A P O C E D （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC 如何过⊙O外一点P作出⊙O的切线？ 画一画 P A O B ∴线段PA、PB即为所求⊙O的切线 （2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB= P A B C O 60° （4）OP交⊙O于M，则 ，ＡＢ ＯＰ ＡＭ＝ＢＭ ⌒ ⌒ M ⊥ 牛刀小试 （3）若∠APB=70°，则∠AOB= ° 110 （1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA OA=3 例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP P A C B D O 例题讲解 。 P B A O （3）连结圆心和圆外一点 （2）连结两切点 （1）分别连结圆心和切点 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。 想一想 已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点。 E A Q P F B O EQ=EA, FQ=FB,PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm PF+FQ=PB=PA=12cm ∴周长为24cm 牛刀再试 1.找出图中所有相等的切线长 2.已知PA=12CM，求△PEF的周长。 例3 、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P， 求证： AD+BC=AB+CD D L M N A B C O P 证明：由切线长定理得 ∴AL=AP=aLB=MB=b, NC=MC=c，DN=DP=d ∴AL+LB+NC+DN=a+b+c+d 即 AB+CD=AD+BC 补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等． a a b b c c d d AP+MB+MC+DP=a+b+c+d 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ A B C 三角形的内切圆 A B C 探究活动二： 1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，