24.2.3 切线长定理.ppt

24.2.2 切线长定理 B A 1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 2.这样的切线能画出几条？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数. 50° 130° 画一画 在白纸上画一个圆，过⊙O外一点P画出⊙O的两条切线，切点分别为A、B 在经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. · O P A B 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 切线长概念 切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. O P A B 比一比： 切线与切线长 O A B P 1 2 思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现那些相等的关系? 折一折 请证明你所发现的结论. A P O B PA=PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB. 证一证 证一证： 切线长定理 ∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆点的连线平分两条切线的夹角. 几何语言: O P A B 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 PA =PB ∠OPA=∠OPB A P O B 1.若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB M 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. ∴OP垂直平分AB. 试一试 A P O . B 2.若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. CA=CB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴PC=PC. ∴△PCA≌△PCB ，∴AC=BC. C 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢? I D 内切圆和内心的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心. ． o 外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 三角形外接圆 三角形内切圆 ． o 内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 A A B B C C 【例2】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长. 【解析】 设AF=x(cm),则AE=x(cm) ∴CD=CE=AC-AE=(13-x)cm BD=BF=AB-AF=(9-x)cm 由BD+CD=BC可得 (13-x)+(9-x)=14 解得x=4 ∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). 【例题】 1.如图所示PA，PB分别切圆O于A，B，并与圆O的切线分别相交于C，D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． C · O P B D A E 答案：14cm A B C D E F 2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F. 求AE,CD,BF的长. . I 3.如图如果PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长. 4 2 x 本节课你学到了那些知识？你有什么收获？ 五、课堂小结 1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° C 2.如图，正三角形的内切圆半径为1， 那么这个正三角形的边长为（ ） A．2 B．3 C． D． 3.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长. 【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB. ∴ PE+EQ=PA=12cm PF+FQ=PB=PA=12cm ∴周长为24cm