24.2.4切线长定理(用).ppt

例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P， 求证： AD+BC=AB+CD ． o． o． o． ． o 外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 外切圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。 三角形外接圆 三角形内切圆 ． o 内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。 A A B B C C 例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长. 解: 设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm) ∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切 ∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD 则有 x＋y＝9 y＋z＝14 x＋z＝13 解得 x＝4 y＝5 z＝9 例题3 · A B C E D F O 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4, AB＝5,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r. 设AD= x , BE= y ,CE＝ r ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD 则有 x＋r＝4 y＋r＝3 x＋y＝5 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 解得 r＝1 变式 · A B C E D F O 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r. 设AD= x , BE= y ,CE＝ r ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD 则有 x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 解得 r＝ a＋b－c 2 设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的 内切圆的半径 r＝ 或r＝ a＋b－c 2 ab a＋b＋c 变式 练习.如图，△ABC中,∠C =90o ,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r. O E B D C A F · B D E F O C A 如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S. 解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， 连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， 则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC ＝ AB·OD＋ BC·OE＋ AC·OF ＝ l·r 设△ABC的三边为a、b、c，面积为S， 则△ABC的内切圆的半径 r＝ 2S a＋b＋c 三角形的内切圆的有关计算 思考 * * * * * * * * * 新课学习 . O A L 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径 几何应用: ∵L是⊙O的切线 ， ∴OA⊥L A . O L 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线. 几何应用: 2.与半径垂直． 1.经过半径的外端； OA是⊙O的半径 OA⊥l于A l是⊙O的切线. 切线的判定定理: O 。 A B P 过圆外一点可以引圆的几条切线？ 尺规作图： 过⊙O外一点作⊙O的切线 O · P A B O 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 · O P A B 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ · · 切线:直线。切线长：线段。 比一比 B M O A B P 思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? 1 2 请证明你所发现的结论。 A P O B PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 证一证 PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB