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三、正态分布 2 一般正态分布的概率计算 若随机变量服从正态分布N(μ,σ2)，则x的取值落在区间[x1,x2] 的概率，记作P(x1≤xx2)。 三、正态分布 （四）正态分布的概率计算 2 一般正态分布的概率计算 服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量，x的取值落在区间[x1,x2] 的概率，记作P(x1≤xx2)，等于服从标准正态分布的随机变量u在[(x1-μ)/ σ, (x2-μ)/ σ]内取值的概率。 计算一般正态分布的概率时，只要将区间的上下限作适当变换（标准化），就可用查标准正态分布的概率表的方法求得概率了。 三、正态分布 2 一般正态分布的概率计算 三、正态分布 （四）正态分布的概率计算 2 一般正态分布的概率计算 P(μ-σx≤μ+σ) P(μ-2σx≤μ+2σ) P(μ-3σx≤μ+3σ) =P(-1≤u≤1)=0.6826 = P(-2≤u≤2)=0.9545 = P(-3≤u≤3)=0.9973 三、正态分布 （四）正态分布的概率计算 2 一般正态分布的概率计算 P( x ≥ μ+1.96σ)= 0.05 P( x ≥ μ+2.58σ)= 0.01 P(-1.96≤u≤1.96)=0.95 P( x ≤μ+1.96σ)= P( x ≤μ+2.58σ) = P(-2.58≤u≤2.58)=0.99 三、正态分布 （四）正态分布的概率计算 (two-tailed probability) (one-tailed probability) 三、正态分布 P(-1≤u≤1)=0.6826 P(-2≤u≤2)=0.9545 P(-3≤u≤3)=0.9973 P(-1.96≤u≤1.96)=0.95 P(-2.58≤u≤2.58)=0.99 1 标准正态分布的概率计算 三、正态分布 （五）正态分布的应用 1 估计参考值范围 20株小麦株高(cm) 为82,79,85,84,86,84,83,82,83,83,84,81,80,81,82,81,82,82,82,80 其平均值为82.3cm，标准差为1.7502cm。问1：小麦株高95%的正常范围值。 小麦株高服从正态分布。总体平均数μ和标准差σ未知，可以用样本平均数 x 和标准差 s 来估计μ和σ 。 [ 78.57, 85.73 ] 95% 三、正态分布 （五）正态分布的应用 1 估计参考值范围 问2：x≥85(cm) 的概率？ P(x≥85)＝P(u≥1.54) ＝1-F(u=1.54) =1-0.9382=0.0618 三、正态分布 （五）正态分布的应用 2 质量控制 服从正态分布的变量落在μ±2σ 及μ±3σ的概率为95.45%和99.73%，在试验中，为了控制检测误差，常以x±2s作为上下警戒线，以x±3s作为上下控制线。 三、正态分布 （五）正态分布的应用 3 正态分布是很多统计方法的理论基础。 二项分布，泊松分布的极限均为正态分布，在一定条件下，均可按正态分布的原理来处理。后面的t检验，方差分析，相关回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。对于非正态分布资料，实施统计处理的一个重要途径是先作变量的转换，使转换后的资料近似正态分布，然后按正态分布的方法作统计处理。 统计数的分布 一、抽样试验与无偏估计 根据样本对总体做出估计和推断，并不是直接用样本本身，而是用样本的统计量来对总体做出估计和判断。但由于从总体中抽取的样本提供的信息仅是总体的一部分，因此它不能提供完全准确的信息，必然存在着一定的误差。即，对于样本容量相同的多次随机抽样，得到样本函数的观察值也是不同的，且其取值有一定的概率，即统计量也是一个随机变量，因而也有它的分布，称为抽样分布(sampling distribution)。 抽取一部分样本进行研究，或对小的有限总体进行放回式的抽样,这种部分抽样比较接近实际。 现有一N=3的近似正态总体，具有变量3,4,5，可以求出 μ=4, σ 2＝0.6667，σ ＝0.8165。 现以n=2作独立的有放回式抽样。 一、抽样试验与无偏估计 总共可得到Nn＝32＝9个样本 样本编号 样本值 x s2 s 1 3,3 3.0 0.0 0.0000 2 3,4 3.5 0.5 0.7071 3 3,5 4.0 2.0 1.4142 4 4,3 3.5 0.5 0.7071 5